Theorem pm2mpmhmlem1 20623

Description: Lemma 1 for pm2mpmhm 20625. (Contributed by AV, 21-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	|- P = (Poly1 ` R )
pm2mpfo.c	|- C = ( N Mat P )
pm2mpfo.b	|- B = ( Base ` C )
pm2mpfo.m	|- .* = ( .s ` Q )
pm2mpfo.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
pm2mpfo.x	|- X = (var1 ` A )
pm2mpfo.a	|- A = ( N Mat R )
pm2mpfo.q	|- Q = (Poly1 ` A )
pm2mpfo.l	|- L = ( Base ` Q )
pm2mpfo.t	|- T = ( N pMatToMatPoly R )

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhmlem1	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( l e. NN0 |-> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) ) .* ( l .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k, l   C, k, l   k, L   k, N, l   Q, k   R, k   .* , k   A, l   P, k   R, l   X, l   .* , l   .^ , l   x, y, k, l

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   P( x, y, l)   Q( x, y, l)   R( x, y)   T( x, y, k, l)   .^ ( x, y, k)   .* ( x, y)   L( x, y, l)   N( x, y)   X( x, y, k)

Proof of Theorem pm2mpmhmlem1

Dummy variables a b i j n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6203	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( 0g ` Q ) e. _V )
2		ovexd 6680	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ l e. NN0 ) -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) ) .* ( l .^ X ) ) e. _V )
3		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( l = n -> ( 0 ... l ) = ( 0 ... n ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( l = n -> ( l - k ) = ( n - k ) )
5	4	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( l = n -> ( y decompPMat ( l - k ) ) = ( y decompPMat ( n - k ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( l = n -> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) = ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) )
7	3, 6	mpteq12dv 4733	. . . 4 |- ( l = n -> ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) )
8	7	oveq2d 6666	. . 3 |- ( l = n -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) )
9		oveq1 6657	. . 3 |- ( l = n -> ( l .^ X ) = ( n .^ X ) )
10	8, 9	oveq12d 6668	. 2 |- ( l = n -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) ) .* ( l .^ X ) ) = ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) )
11		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> N e. Fin )
12		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. Ring )
13		pm2mpfo.p	. . . . . . . . . 10 |- P = (Poly1 ` R )
14		pm2mpfo.c	. . . . . . . . . 10 |- C = ( N Mat P )
15	13, 14	pmatring 20498	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
16	15	anim1i 592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( C e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
17		3anass 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) <-> ( C e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( C e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) )
19		pm2mpfo.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` C )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
21	19, 20	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( C e. Ring /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( .r ` C ) y ) e. B )
22	18, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( .r ` C ) y ) e. B )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24	13, 14, 19, 23	pmatcoe1fsupp 20506	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( x ( .r ` C ) y ) e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
25	11, 12, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = i -> ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) = ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = i -> (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) = (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) )
28	27	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = i -> ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = i -> ( ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = j -> ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) = ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = j -> (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) = (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) )
32	31	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = j -> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) )
33	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = j -> ( ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) <-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
34	29, 33	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. N /\ j e. N ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) )
35	34	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) )
37	36	3impib 1262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) )
38	37	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
39		pm2mpfo.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = ( N Mat R )
40	39, 23	mat0op 20225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 0g ` A ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
41	40	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` A ) = ( i e. N , j e. N |-> ( 0g ` R ) ) )
42	39	matring 20249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
43		pm2mpfo.q	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Q = (Poly1 ` A )
44	43	ply1sca 19623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> A = (Scalar ` Q ) )
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A = (Scalar ` Q ) )
46	45	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> A = (Scalar ` Q ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( 0g ` A ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
48	38, 41, 47	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( n .^ X ) ) )
50	43	ply1lmod 19622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. Ring -> Q e. LMod )
51	42, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Q e. LMod )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> Q e. LMod )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> Q e. LMod )
54	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A e. Ring )
55		pm2mpfo.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X = (var1 ` A )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mulGrp ` Q ) = (mulGrp ` Q )
57		pm2mpfo.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
58		pm2mpfo.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- L = ( Base ` Q )
59	43, 55, 56, 57, 58	ply1moncl 19641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. L )
60	54, 59	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. L )
61		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Scalar ` Q ) = (Scalar ` Q )
62		pm2mpfo.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- .* = ( .s ` Q )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Q ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` Q ) = ( 0g ` Q )
65	58, 61, 62, 63, 64	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. LMod /\ ( n .^ X ) e. L ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
66	53, 60, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Q ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
68	49, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) )
69	68	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
70	69	imim2d 57	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( s < n -> A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
71	70	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
72	71	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> A. a e. N A. b e. N ( (coe1 ` ( a ( x ( .r ` C ) y ) b ) ) ` n ) = ( 0g ` R ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
73	25, 72	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
74	14, 19	decpmatval 20570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ( .r ` C ) y ) e. B /\ n e. NN0 ) -> ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) )
75	22, 74	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) = ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) )
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) <-> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
78	77	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
79	78	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
80	79	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( (coe1 ` ( i ( x ( .r ` C ) y ) j ) ) ` n ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
81	73, 80	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
82		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
83		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( x e. B /\ y e. B ) )
84		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
85	13, 14, 19, 39	decpmatmul 20577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. B /\ y e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) )
86	82, 83, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) = ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) )
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) = ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) )
89	88	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) <-> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
90	89	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( s < n -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
91	90	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
92	91	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) <-> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( ( x ( .r ` C ) y ) decompPMat n ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) ) )
93	81, 92	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... n ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( n - k ) ) ) ) ) .* ( n .^ X ) ) = ( 0g ` Q ) ) )
94	1, 2, 10, 93	mptnn0fsuppd 12798	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( l e. NN0 |-> ( ( A gsumg ( k e. ( 0 ... l ) |-> ( ( x decompPMat k ) ( .r ` A ) ( y decompPMat ( l - k ) ) ) ) ) .* ( l .^ X ) ) ) finSupp ( 0g ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   0cc0 9936   < clt 10074   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   decompPMat cdecpmat 20567   pMatToMatPoly cpm2mp 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  pm2mpmhmlem2  20624