poimirlem8 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem8 33417

Description: Lemma for poimir 33442, establishing that away from the opposite vertex the walks in poimirlem9 33418 yield the same vertices. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem9.1
poimirlem9.2
poimirlem9.3

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem8	$\$ $\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem poimirlem8 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimirlem9.3	. . . . . . . 8
2		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
3		poimirlem22.s	. . . . . . . . 9 ..^
4	2, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 ..^
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ..^
6		xp1st 7198	. . . . . . 7 ..^ ..^
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ..^
8		xp2nd 7199	. . . . . 6 ..^
9	7, 8	syl 17	. . . . 5
10		fvex 6201	. . . . . 6
11		f1oeq1 6127	. . . . . 6
12	10, 11	elab 3350	. . . . 5
13	9, 12	sylib 208	. . . 4
14		f1ofn 6138	. . . 4
15	13, 14	syl 17	. . 3
16		difss 3737	. . 3 $\$
17		fnssres 6004	. . 3 $/\$ $\$ $\$ $\$
18	15, 16, 17	sylancl 694	. 2 $\$ $\$
19		poimirlem9.1	. . . . . . . 8
20		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
21	20, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 ..^
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ..^
23		xp1st 7198	. . . . . . 7 ..^ ..^
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ..^
25		xp2nd 7199	. . . . . 6 ..^
26	24, 25	syl 17	. . . . 5
27		fvex 6201	. . . . . 6
28		f1oeq1 6127	. . . . . 6
29	27, 28	elab 3350	. . . . 5
30	26, 29	sylib 208	. . . 4
31		f1ofn 6138	. . . 4
32	30, 31	syl 17	. . 3
33		fnssres 6004	. . 3 $/\$ $\$ $\$ $\$
34	32, 16, 33	sylancl 694	. 2 $\$ $\$
35		poimirlem9.2	. . . . . . . . . . . 12
36		fzp1elp1 12394	. . . . . . . . . . . 12
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11
38		poimir.0	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13
40		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . 13
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
43	37, 42	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10
44		fzsplit 12367	. . . . . . . . . 10
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9
46	45	difeq1d 3727	. . . . . . . 8 $\$ $\$
47		difundir 3880	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$
48		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
49	35, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
50	49	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
53		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54	49, 53	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15
55	52, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14
56	49	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
59		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61	58, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62	52, 61	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15
63		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
65		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	55, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
67	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
68		fzpr 12396	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	56, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	67, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . 13
72	66, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
73	72	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
74	49	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75	74	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	58	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	76, 74	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	75, 77	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15
79		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	78, 79	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . 14
81		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
83		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	74, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
85	74	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86	76, 74, 84, 75, 85	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
87	76, 84	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	86, 87	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15
89		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	88, 89	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . 14
91		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
93	82, 92	ineq12d 3815	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
94		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
95		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . 14
96	95	difeq2i 3725	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
97		difundi 3879	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$
98	94, 96, 97	3eqtrri 2649	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
99		inidm 3822	. . . . . . . . . . . 12
100	93, 98, 99	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . 11 $\$
101	73, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $\$
102		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	84, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	84	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16
105	74, 84, 103, 85, 104	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	74, 103	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	105, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14
108		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14
109	107, 108	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . 13
110		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $\$
112	84, 103	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	104, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14
114		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14
115	113, 114	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . 13
116		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $\$
118	111, 117	ineq12d 3815	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$
119	95	difeq2i 3725	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
120		difundi 3879	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
121	119, 120	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$
122		inidm 3822	. . . . . . . . . . 11
123	118, 121, 122	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . 10 $\$
124	101, 123	uneq12d 3768	. . . . . . . . 9 $\$ $\$
125	47, 124	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 $\$
126	46, 125	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $\$
127	126	eleq2d 2687	. . . . . 6 $\$
128		elun 3753	. . . . . 6 $\/$
129	127, 128	syl6bb 276	. . . . 5 $\$ $\/$
130	129	biimpa 501	. . . 4 $/\$ $\$ $\/$
131		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132	131	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133	132	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134	133	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
136	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137	135	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	138	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
140	137	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	140	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	139, 141	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	136, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144	143	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145	134, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146	145	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
147	146	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16
148	147, 3	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$
149	148	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14
150	19, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
151		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
152	24, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
153		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
155		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
156	155	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
157		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^
158	154, 156, 157	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
159	38, 150, 158, 30, 35	poimirlem1 33410	. . . . . . . . . . . 12
160	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
161		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
162	161	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
163	162	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
164	163	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
165		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
166	165	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
167	165	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
168	167	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
169	168	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
170	167	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
171	170	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
172	169, 171	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
173	166, 172	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
174	173	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
175	164, 174	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
176	175	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
177	176	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178	177, 3	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$
179	178	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
180	1, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
181	180	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
182		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
183	7, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
184		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
186		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ ..^
187	185, 156, 186	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
189	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
190	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
191		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
192	5, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
193		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$
194	193	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
195	192, 194	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
196	160, 181, 188, 189, 190, 195	poimirlem2 33411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
197	196	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13
198	197	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . 12
199	159, 198	mpd 15	. . . . . . . . . . 11
200	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
201	200	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
202	201	eleq2d 2687	. . . . . . . 8
203	202	biimpar 502	. . . . . . 7 $/\$
204	38	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
205	1	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
206	199, 35	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9
207	206	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
208		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
209	204, 3, 205, 207, 208	poimirlem6 33415	. . . . . . 7 $/\$
210	203, 209	syldan 487	. . . . . 6 $/\$
211	38	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
212	19	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
213	35	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
214		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
215	211, 3, 212, 213, 214	poimirlem6 33415	. . . . . 6 $/\$
216	210, 215	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$
217	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
218	217	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
219	218	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
220	219	eleq2d 2687	. . . . . . . 8
221	220	biimpar 502	. . . . . . 7 $/\$
222	38	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
223	1	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
224	206	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
225		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
226	222, 3, 223, 224, 225	poimirlem7 33416	. . . . . . 7 $/\$
227	221, 226	syldan 487	. . . . . 6 $/\$
228	38	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
229	19	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
230	35	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
231		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
232	228, 3, 229, 230, 231	poimirlem7 33416	. . . . . 6 $/\$
233	227, 232	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$
234	216, 233	jaodan 826	. . . 4 $/\$ $\/$
235	130, 234	syldan 487	. . 3 $/\$ $\$
236		fvres 6207	. . . 4 $\$ $\$
237	236	adantl 482	. . 3 $/\$ $\$ $\$
238		fvres 6207	. . . 4 $\$ $\$
239	238	adantl 482	. . 3 $/\$ $\$ $\$
240	235, 237, 239	3eqtr4d 2666	. 2 $/\$ $\$ $\$ $\$
241	18, 34, 240	eqfnfvd 6314	1 $\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wrmo 2915

crab 2916

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

cif 4086

csn 4177

cpr 4179 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cres 5116

cima 5117

wfn 5883

wf 5884

wf1o 5887

cfv 5888

crio 6610 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem9 33418

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