poimirlem6 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem6 33415

Description: Lemma for poimir 33442 establishing, for a face of a simplex defined by a walk along the edges of an

-cube, the single dimension in which successive vertices before the opposite vertex differ. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem9.1
poimirlem9.2
poimirlem6.3

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem6

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem poimirlem6**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimirlem9.1	. . . . . . . 8
2		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
3		poimirlem22.s	. . . . . . . . 9 ..^
4	2, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 ..^
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ..^
6		xp1st 7198	. . . . . . 7 ..^ ..^
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ..^
8		xp2nd 7199	. . . . . 6 ..^
9	7, 8	syl 17	. . . . 5
10		fvex 6201	. . . . . 6
11		f1oeq1 6127	. . . . . 6
12	10, 11	elab 3350	. . . . 5
13	9, 12	sylib 208	. . . 4
14		f1of 6137	. . . 4
15	13, 14	syl 17	. . 3
16		poimirlem9.2	. . . . . . . . 9
17		elfznn 12370	. . . . . . . . 9
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8
19	18	nnzd 11481	. . . . . . 7
20		peano2zm 11420	. . . . . . 7
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6
22		poimir.0	. . . . . . 7
23	22	nnzd 11481	. . . . . 6
24	21	zred 11482	. . . . . . 7
25	18	nnred 11035	. . . . . . 7
26	22	nnred 11035	. . . . . . 7
27	25	lem1d 10957	. . . . . . 7
28		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10
29	22, 28	syl 17	. . . . . . . . 9
30	29	nn0red 11352	. . . . . . . 8
31		elfzle2 12345	. . . . . . . . 9
32	16, 31	syl 17	. . . . . . . 8
33	26	lem1d 10957	. . . . . . . 8
34	25, 30, 26, 32, 33	letrd 10194	. . . . . . 7
35	24, 25, 26, 27, 34	letrd 10194	. . . . . 6
36		eluz2 11693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
37	21, 23, 35, 36	syl3anbrc 1246	. . . . 5
38		fzss2 12381	. . . . 5
39	37, 38	syl 17	. . . 4
40		poimirlem6.3	. . . 4
41	39, 40	sseldd 3604	. . 3
42	15, 41	ffvelrnd 6360	. 2
43		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
44	7, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
45		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . 12 ..^
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
48		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . 15
49		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
51		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . 15
52		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
54	50, 53	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
55		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
56	55	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	13, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
58		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
60		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61	40, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62	61	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63	62	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	65	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
67		ima0 5481	. . . . . . . . . . . . . . 15
68	66, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
69	59, 68	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
70		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
71	54, 69, 70	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
72	61	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
75		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76	61, 75	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77	74, 76	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
79	61, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
80	79	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
81		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
83		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
85	74, 84	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
88	61	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
89		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
90	40, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
91	62, 24, 26, 90, 35	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
92		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
93	88, 23, 91, 92	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94	87, 93	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
96	77, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
97	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98	97	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
99	96, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
100	99	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
101		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . 15
102	100, 101	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
103		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	13, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
105		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
107	102, 106	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
108	107	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . 12
109	71, 108	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
111		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 $/\$
112		inidm 3822	. . . . . . . . . 10
113		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
114		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115		fzpred 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116	93, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117	116	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119	13, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
121	119, 41, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
122	121	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123	114, 117, 122	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	123	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126	124, 125	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
127	126	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . 14
128		un12 3771	. . . . . . . . . . . . . 14
129	127, 128	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
130	129	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
132		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133	51, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
134	50, 133	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
135		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	57, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
137	79	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	62, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140	62	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	137, 62, 139, 63, 140	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
142		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	143	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
145	144, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
146	136, 145	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15
147		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
148	134, 146, 147	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
149		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . 16
150		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
151	57, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
152		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
153	41, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154	153	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
155		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$ $\$
156		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
157	77, 85, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
158	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
159		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
160	88, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
161	158, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
162	161	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
163	157, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
164	163	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
165		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$ $\$
166	137, 62	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
167	63, 166	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
168		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
169	167, 168	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
170		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$
172	165, 171	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
173	164, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
174	62, 139	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
175	140, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
176		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
177	175, 176	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
178		difsn 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
180	173, 179	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$ $\$
181	155, 180	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
182	154, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
183	182	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
184	121	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185	106, 184	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
186	151, 183, 185	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
187	149, 186	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
188	187	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
189	148, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
190		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
191	190	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
192	191	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
193		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
194		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . 16
195	51, 194	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
196		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
197	195, 196	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
198	193, 197	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $\$
199	189, 192, 198	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
200	199	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
201	131, 200	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
202	47, 110, 111, 111, 112, 113, 201	ofval 6906	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
203		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15
204	48, 203	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
205	204, 133	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
206		imain 5974	. . . . . . . . . . . . . . 15
207	57, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
208		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
209	140, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
210	209	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
211	210, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
212	207, 211	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
213		fnun 5997	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
214	205, 212, 213	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
215	153	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
216		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . 15
217	215, 216	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14
218	217, 106	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
219	218	fneq2d 5982	. . . . . . . . . . . 12
220	214, 219	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
222		imaundi 5545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
223	163	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
224	121	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225	222, 223, 224	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
226	225	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . 16
227		xpundir 5172	. . . . . . . . . . . . . . . 16
228	226, 227	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
229	228	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . 14
230		un23 3772	. . . . . . . . . . . . . . 15
231	230	equncomi 3759	. . . . . . . . . . . . . 14
232	229, 231	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
233	232	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12
234	233	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
235		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . 16
236	48, 235	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
237		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
238	236, 237	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
239	193, 238	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $\$
240	189, 192, 239	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
241	240	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
242	234, 241	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
243	47, 221, 111, 111, 112, 113, 242	ofval 6906	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
244	202, 243	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
245	244	an32s 846	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
246	245	anasss 679	. . . . . 6 $/\$ $/\$
247		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
248	247	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
249	248	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . 16
250	249	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . 15
251		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
252	251	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
253	251	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
254	253	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
255	254	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
256	253	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
257	256	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
258	255, 257	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
259	252, 258	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
260	259	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15
261	250, 260	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
262	261	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13
263	262	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12
264	263, 3	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$
265	264	simprbi 480	. . . . . . . . . 10
266	1, 265	syl 17	. . . . . . . . 9
267		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
268		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
269	267, 268	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12
270	25	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . 15
271	62, 24, 25, 90, 270	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . 14
272	137, 62, 25, 63, 271	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13
273	272	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . 12
274	269, 273	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 $/\$
275	274	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . 10 $/\$
276		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
277	276	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
278	277	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15
279	278	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
280		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
281	280, 74	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
282	281	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
283	282	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
284	283	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
285	279, 284	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
286	285	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
287	79, 286	csbied 3560	. . . . . . . . . . 11
288	287	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
289	275, 288	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
290		1red 10055	. . . . . . . . . . 11
291	62, 26, 290, 91	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . 10
292		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
293	79, 29, 291, 292	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9
294		ovexd 6680	. . . . . . . . 9
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297	296	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
298		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13
299		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
300	298, 299	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12
301	271	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . 12
302	300, 301	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 $/\$
303	302	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . 10 $/\$
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307		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
308	307	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
309	308	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
310	309	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . 15
311	306, 310	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . . 14
312	311	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
313	312	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
314	40, 313	csbied 3560	. . . . . . . . . . 11
315	314	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
316	303, 315	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
317	29	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13
318	25, 26, 290, 34	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . 13
319		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
320	21, 317, 318, 319	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12
321		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . 12
322	320, 321	syl 17	. . . . . . . . . . 11
323		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . 12
324		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
325	323, 324	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
326	322, 325	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10
327	326, 40	sseldd 3604	. . . . . . . . 9
328		ovexd 6680	. . . . . . . . 9
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332	246, 297, 331	3eqtr4d 2666	. . . . 5 $/\$ $/\$
333	332	expr 643	. . . 4 $/\$
334	333	necon1d 2816	. . 3 $/\$
335		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
336	44, 335	syl 17	. . . . . . . . . 10 ..^
337	336, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 ..^
338		elfzonn0 12512	. . . . . . . . 9 ..^
339	337, 338	syl 17	. . . . . . . 8
340	339	nn0red 11352	. . . . . . 7
341	340	ltp1d 10954	. . . . . . 7
342	340, 341	ltned 10173	. . . . . 6
343	295	fveq1d 6193	. . . . . . 7
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345		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$
346		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . 14
347	76, 346	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
348		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . 14
349	93, 348	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
350		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
351	119, 347, 349, 350	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
352		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
353	50, 53, 352	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
354	69, 351, 353	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
355	51	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
356	351, 355	syl 17	. . . . . . . . . . 11
357	354, 356	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
358	357	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
359	46, 109, 344, 344, 112, 345, 358	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$
360	42, 359	mpdan 702	. . . . . . 7
361	339	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8
362	361	addid1d 10236	. . . . . . 7
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364	329	fveq1d 6193	. . . . . . 7
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367		elfz1end 12371	. . . . . . . . . . . . . 14
368	61, 367	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13
369		fnfvima 6496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
370	119, 366, 368, 369	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
371		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
372	204, 133, 371	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
373	212, 370, 372	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
374	48	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12
375	370, 374	syl 17	. . . . . . . . . . 11
376	373, 375	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
377	376	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
378	46, 220, 344, 344, 112, 345, 377	ofval 6906	. . . . . . . 8 $/\$
379	42, 378	mpdan 702	. . . . . . 7
380	364, 379	eqtrd 2656	. . . . . 6
381	342, 363, 380	3netr4d 2871	. . . . 5
382		fveq2 6191	. . . . . 6
383		fveq2 6191	. . . . . 6
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387	334, 386	impbid 202	. 2 $/\$
388	42, 387	riota5 6637	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

crab 2916

cvv 3200

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888

crio 6610 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem8 33417

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