Theorem prmdvdsprmo 15746

Description: The primorial of a number is divisible by each prime less then or equal to the number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsprmo	|- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p <_ N -> p || (#p ` N ) ) )

Distinct variable group:   N, p

Proof of Theorem prmdvdsprmo

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... N ) e. Fin
2		diffi 8192	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... N ) \ { p } ) e. Fin )
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( ( 1 ... N ) \ { p } ) e. Fin )
4		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> k e. ( 1 ... N ) )
5		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ZZ )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> k e. ZZ )
7		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> 1 e. ZZ )
8	6, 7	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
10	3, 9	fprodzcl 14684	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
11		prmz 15389	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
12	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> p e. ZZ )
13	12	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. ZZ )
14		dvdsmul2 15004	. . . . 5 |- ( ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) )
15	10, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) )
16		nnnn0 11299	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
17		prmoval 15737	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> (#p ` N ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> (#p ` N ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> (#p ` N ) = prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) )
20	19	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || (#p ` N ) <-> p || prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) ) )
21		neldifsnd 4322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> -. p e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) )
22		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) i^i { p } ) = (/) <-> -. p e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) )
23	21, 22	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) i^i { p } ) = (/) )
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> p e. NN )
26	25	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p e. NN /\ p <_ N ) )
27		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
28		fznn 12408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p e. ( 1 ... N ) <-> ( p e. NN /\ p <_ N ) ) )
31	26, 30	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. ( 1 ... N ) )
32		difsnid 4341	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) = ( 1 ... N ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( p e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) )
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( ( 1 ... N ) \ { p } ) u. { p } ) )
35		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
36		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> 1 e. ZZ )
37	5, 36	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. ZZ )
38	37	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. CC )
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> if ( k e. Prime , k , 1 ) e. CC )
40	23, 34, 35, 39	fprodsplit 14696	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. prod_ k e. { p } if ( k e. Prime , k , 1 ) ) )
41		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. Prime )
42	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. NN )
43	42	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p e. CC )
44		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> 1 e. CC )
45	43, 44	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> if ( p e. Prime , p , 1 ) e. CC )
46		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = p -> ( k e. Prime <-> p e. Prime ) )
47		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = p -> k = p )
48	46, 47	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = p -> if ( k e. Prime , k , 1 ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
49	48	prodsn 14692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( p e. Prime /\ if ( p e. Prime , p , 1 ) e. CC ) -> prod_ k e. { p } if ( k e. Prime , k , 1 ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
50	41, 45, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. { p } if ( k e. Prime , k , 1 ) = if ( p e. Prime , p , 1 ) )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
52	51	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> if ( p e. Prime , p , 1 ) = p )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> if ( p e. Prime , p , 1 ) = p )
54	50, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. { p } if ( k e. Prime , k , 1 ) = p )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. prod_ k e. { p } if ( k e. Prime , k , 1 ) ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) )
56	40, 55	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) = ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) )
57	56	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || prod_ k e. ( 1 ... N ) if ( k e. Prime , k , 1 ) <-> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) ) )
58	20, 57	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> ( p || (#p ` N ) <-> p || ( prod_ k e. ( ( 1 ... N ) \ { p } ) if ( k e. Prime , k , 1 ) x. p ) ) )
59	15, 58	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) /\ p <_ N ) -> p || (#p ` N ) )
60	59	ex 450	. 2 |- ( ( N e. NN /\ p e. Prime ) -> ( p <_ N -> p || (#p ` N ) ) )
61	60	ralrimiva 2966	1 |- ( N e. NN -> A. p e. Prime ( p <_ N -> p || (#p ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   Primecprime 15385  #_pcprmo 15735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-prmo 15736

This theorem is referenced by:  prmdvdsprmop  15747