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Theorem quart1lem 24582

Description: Lemma for quart1 24583. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
quart1.a
quart1.b
quart1.c
quart1.d
quart1.p
quart1.q
quart1.r	; ;;
quart1.x
quart1.y

**Assertion**
Ref	Expression
quart1lem	;;

**Proof of Theorem quart1lem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart1.c	. . . . . . . . 9
2		quart1.a	. . . . . . . . . . 11
3		quart1.b	. . . . . . . . . . 11
4	2, 3	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
5	4	halfcld 11277	. . . . . . . . 9
6	1, 5	subcld 10392	. . . . . . . 8
7		3nn0 11310	. . . . . . . . . 10
8		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
9	2, 7, 8	sylancl 694	. . . . . . . . 9
10		8cn 11106	. . . . . . . . . 10
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9
12		8nn 11191	. . . . . . . . . . 11
13	12	nnne0i 11055	. . . . . . . . . 10
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9
15	9, 11, 14	divcld 10801	. . . . . . . 8
16		4cn 11098	. . . . . . . . . 10
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9
18		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9
20	2, 17, 19	divcld 10801	. . . . . . . 8
21	6, 15, 20	adddird 10065	. . . . . . 7
22		quart1.q	. . . . . . . 8
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . 7
24	1, 2, 17, 19	divassd 10836	. . . . . . . . . 10
25	2	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
27	2, 2, 3	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . 14
28	26, 27	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
29	28	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
30		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14
31		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . 14
32	16, 30, 31	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
34	29, 33	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11
35	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
36		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
38	4, 35, 2, 17, 37, 19	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . 11
39	34, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10
40	24, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
41	1, 5, 20	subdird 10487	. . . . . . . . 9
42	40, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8
43		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . . 14
44	43	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
45		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
46	2, 7, 45	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
47	44, 46	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
49	9, 2, 11, 14	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11
50	48, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
51	50	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
52	15, 2, 17, 19	divassd 10836	. . . . . . . . 9
53	51, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
54	42, 53	oveq12d 6668	. . . . . . 7
55	21, 23, 54	3eqtr4d 2666	. . . . . 6
56	1, 2	mulcld 10060	. . . . . . . 8
57	56, 17, 19	divcld 10801	. . . . . . 7
58	2	sqcld 13006	. . . . . . . . 9
59	58, 3	mulcld 10060	. . . . . . . 8
60	59, 11, 14	divcld 10801	. . . . . . 7
61		4nn0 11311	. . . . . . . . . 10
62		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	2, 61, 62	sylancl 694	. . . . . . . . 9
64	63, 11, 14	divcld 10801	. . . . . . . 8
65	64, 17, 19	divcld 10801	. . . . . . 7
66	57, 60, 65	subadd23d 10414	. . . . . 6
67	65, 60	subcld 10392	. . . . . . 7
68	57, 67	addcomd 10238	. . . . . 6
69	55, 66, 68	3eqtrd 2660	. . . . 5
70		quart1.r	. . . . . 6 ; ;;
71		quart1.d	. . . . . . 7
72		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12
73		6nn 11189	. . . . . . . . . . . 12
74	72, 73	decnncl 11518	. . . . . . . . . . 11 ;
75	74	nncni 11030	. . . . . . . . . 10 ;
76	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ;
77	74	nnne0i 11055	. . . . . . . . . 10 ;
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ;
79	59, 76, 78	divcld 10801	. . . . . . . 8 ;
80		3cn 11095	. . . . . . . . . 10
81		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13
82		5nn0 11312	. . . . . . . . . . . . 13
83	81, 82	deccl 11512	. . . . . . . . . . . 12 ;
84	83, 73	decnncl 11518	. . . . . . . . . . 11 ;;
85	84	nncni 11030	. . . . . . . . . 10 ;;
86	84	nnne0i 11055	. . . . . . . . . 10 ;;
87	80, 85, 86	divcli 10767	. . . . . . . . 9 ;;
88		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ;; $/\$ ;;
89	87, 63, 88	sylancr 695	. . . . . . . 8 ;;
90	79, 89	subcld 10392	. . . . . . 7 ; ;;
91	71, 90, 57	addsubd 10413	. . . . . 6 ; ;; ; ;;
92	70, 91	eqtr4d 2659	. . . . 5 ; ;;
93	69, 92	oveq12d 6668	. . . 4 ; ;;
94	71, 90	addcld 10059	. . . . 5 ; ;;
95	67, 57, 94	ppncand 10432	. . . 4 ; ;; ; ;;
96	67, 71, 90	add12d 10262	. . . . 5 ; ;; ; ;;
97	60, 89	addcld 10059	. . . . . . . 8 ;;
98	65, 79	addcld 10059	. . . . . . . 8 ;
99	97, 98	negsubdi2d 10408	. . . . . . 7 ;; ; ; ;;
100	65, 79	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 ; ;
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ;; ; ;; ;
102	60, 89, 79, 65	addsub4d 10439	. . . . . . . . 9 ;; ; ; ;;
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;;
105	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;;
106	103, 63, 104, 105	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;; ;;
107	103, 63, 104, 105	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;; ;;
108		1p2e3 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	108	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;; ;;
110		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111	63, 104, 105	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ;;
112	110, 35, 111	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;; ;; ;;
113	109, 112	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;; ;; ;;
114	111	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;; ;;
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;; ;; ;; ;;
116	113, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;; ;; ;;
117	106, 107, 116	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ;; ;; ;;
118	43	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119	65, 17, 19	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
120	103, 110, 119	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121	118, 120	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	65, 17, 19	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	119	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	64, 17, 17, 19, 19	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125		4t4e16 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ;
126	125	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ;
127	124, 126	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
128	63, 11, 76, 14, 78	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ; ;
129	10, 75	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ;
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ;
131	10, 75, 13, 77	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ;
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ;
133	63, 130, 132	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ;
134	133, 35, 37	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ; ;
135	63, 130, 35, 132, 37	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ; ;
136	10, 75, 30	mul32i 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ; ;
137		2exp4 15794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ;
138		8t2e16 11654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ;
139	137, 138	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140	139, 137	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ;
141		4p4e8 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
142	141	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
143		expadd 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
144	30, 61, 61, 143	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
145		2exp8 15796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ;;
146	142, 144, 145	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ;;
147	136, 140, 146	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ; ;;
148	147	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ; ;;
149	135, 148	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ; ;;
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ; ;;
151	128, 134, 150	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ; ;;
152	123, 127, 151	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;;
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;;
154	121, 122, 153	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 ;;
155	117, 154	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ;; ;; ;; ;;
156		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
157	80, 119, 156	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
158		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ;; ;;
159	30, 111, 158	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ;;
160	111, 157, 159	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . 13 ;; ;; ;; ;;
161	155, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ;; ;;
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ; ;; ; ;;
163	79, 111, 157	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . 11 ; ;; ;; ;
164	162, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ; ;; ;; ;
165	59, 11, 35, 14, 37	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16
166	138	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
167	165, 166	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
169	60, 35, 37	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14
170	79	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ; ;
171	168, 169, 170	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ; ; ; ;
173	79, 79	pncand 10393	. . . . . . . . . . . 12 ; ; ; ;
174	172, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ; ;
175	174	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ; ;; ; ;;
176		quart1.p	. . . . . . . . . . . . 13
177	176	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
178	80, 10, 13	divcli 10767	. . . . . . . . . . . . . 14
179		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
180	178, 58, 179	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13
181	20	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13
182	3, 180, 181	subdird 10487	. . . . . . . . . . . 12
183	2, 17, 19	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . 16
184	16	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185	184, 125	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
186	185	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
187	183, 186	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
189	3, 58, 76, 78	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
190	3, 58	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ;
192	188, 189, 191	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ;
193	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194	193, 58, 58	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
195	103, 63, 11, 14	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
197	196	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
198	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199	2, 198, 198	expaddd 13010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
200	197, 199	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201	200	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202	195, 201	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
203	103, 63, 11, 14	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
204	194, 202, 203	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
206	185, 76	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16
207	185, 77	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
208	207	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
209	180, 58, 206, 208	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15
210	103, 64, 206, 208	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15
211	205, 209, 210	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14
212	183	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
213	185	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ;
214	127, 213	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15
215	214	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
216	211, 212, 215	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13
217	192, 216	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ;
218	177, 182, 217	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ;
219	218	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ;; ;; ;
220	164, 175, 219	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 ; ;; ;;
221	101, 102, 220	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 ;; ; ;;
222	221	negeqd 10275	. . . . . . 7 ;; ; ;;
223	65, 79, 60, 89	addsub4d 10439	. . . . . . 7 ; ;; ; ;;
224	99, 222, 223	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 ; ;; ;;
225	224	oveq2d 6666	. . . . 5 ; ;; ;;
226	3, 180	subcld 10392	. . . . . . . . 9
227	176, 226	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
228	227, 181	mulcld 10060	. . . . . . 7
229	111, 228	addcld 10059	. . . . . 6 ;;
230	71, 229	negsubd 10398	. . . . 5 ;; ;;
231	96, 225, 230	3eqtrd 2660	. . . 4 ; ;; ;;
232	93, 95, 231	3eqtrd 2660	. . 3 ;;
233	232	oveq2d 6666	. 2 ;; ;; ;;
234	229, 71	pncan3d 10395	. 2 ;; ;;
235	233, 234	eqtr2d 2657	1 ;;

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c5 11073

c6 11074

c8 11076

cn0 11292 ;cdc 11493

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: quart1 24583

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