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Theorem dvmulbr 23702
Description: The product rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvmul 23704. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f |- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x |- ( ph -> X C_ S )
dvadd.g |- ( ph -> G : Y --> CC )
dvadd.y |- ( ph -> Y C_ S )
dvaddbr.s |- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.k |- ( ph -> K e. V )
dvadd.l |- ( ph -> L e. V )
dvadd.bf |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvadd.j |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
Assertion
Ref Expression
dvmulbr |- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )
Proof of Theorem dvmulbr
Dummy variables y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.bf . . . . . 6 |- ( ph -> C ( S _D F ) K )
2 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( J ↾t S ) = ( J ↾t S )
3 dvadd.j . . . . . . 7 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
5 dvaddbr.s . . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ CC )
6 dvadd.f . . . . . . 7 |- ( ph -> F : X --> CC )
7 dvadd.x . . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ S )
82, 3, 4, 5, 6, 7eldv 23662 . . . . . 6 |- ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
91, 8mpbid 222 . . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
109simpld 475 . . . 4 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) )
11 dvadd.bg . . . . . 6 |- ( ph -> C ( S _D G ) L )
12 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
13 dvadd.g . . . . . . 7 |- ( ph -> G : Y --> CC )
14 dvadd.y . . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ S )
152, 3, 12, 5, 13, 14eldv 23662 . . . . . 6 |- ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
1611, 15mpbid 222 . . . . 5 |- ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) )
1716simpld 475 . . . 4 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) )
1810, 17elind 3798 . . 3 |- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) ) )
193cnfldtopon 22586 . . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
20 resttopon 20965 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
2119, 5, 20sylancr 695 . . . . 5 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
22 topontop 20718 . . . . 5 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> ( J ↾t S ) e. Top )
2321, 22syl 17 . . . 4 |- ( ph -> ( J ↾t S ) e. Top )
24 toponuni 20719 . . . . . 6 |- ( ( J ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
2521, 24syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> S = U. ( J ↾t S ) )
267, 25sseqtrd 3641 . . . 4 |- ( ph -> X C_ U. ( J ↾t S ) )
2714, 25sseqtrd 3641 . . . 4 |- ( ph -> Y C_ U. ( J ↾t S ) )
28 eqid 2622 . . . . 5 |- U. ( J ↾t S ) = U. ( J ↾t S )
2928ntrin 20865 . . . 4 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) /\ Y C_ U. ( J ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) ) )
3023, 26, 27, 29syl3anc 1326 . . 3 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` Y ) ) )
3118, 30eleqtrrd 2704 . 2 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
326adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
33 inss1 3833 . . . . . . . . 9 |- ( X i^i Y ) C_ X
34 eldifi 3732 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
3633, 35sseldi 3601 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. X )
3732, 36ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
385, 6, 7dvbss 23665 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
39 reldv 23634 . . . . . . . . . . 11 |- Rel ( S _D F )
40 releldm 5358 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( S _D F ) /\ C ( S _D F ) K ) -> C e. dom ( S _D F ) )
4139, 1, 40sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. dom ( S _D F ) )
4238, 41sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. X )
436, 42ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
4443adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
4537, 44subcld 10392 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
467, 5sstrd 3613 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> X C_ CC )
4746adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X C_ CC )
4847, 36sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
4946, 42sseldd 3604 . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
5049adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
5148, 50subcld 10392 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
52 eldifsni 4320 . . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
5352adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
5448, 50, 53subne0d 10401 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
5545, 51, 54divcld 10801 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
5613adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G : Y --> CC )
57 inss2 3834 . . . . . . 7 |- ( X i^i Y ) C_ Y
5857, 35sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. Y )
5956, 58ffvelrnd 6360 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
6055, 59mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
61 ssdif 3745 . . . . . . . 8 |- ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
6257, 61mp1i 13 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
6362sselda 3603 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
6414, 5sstrd 3613 . . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ CC )
655, 13, 14dvbss 23665 . . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S _D G ) C_ Y )
66 reldv 23634 . . . . . . . . 9 |- Rel ( S _D G )
67 releldm 5358 . . . . . . . . 9 |- ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
6866, 11, 67sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
6965, 68sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Y )
7013, 64, 69dvlem 23660 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
7163, 70syldan 487 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
7271, 44mulcld 10060 . . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
73 ssid 3624 . . . . 5 |- CC C_ CC
7473a1i 11 . . . 4 |- ( ph -> CC C_ CC )
75 txtopon 21394 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` CC ) /\ J e. (TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
7619, 19, 75mp2an 708 . . . . . 6 |- ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
7776toponunii 20721 . . . . . . 7 |- ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
7877restid 16094 . . . . . 6 |- ( ( J tX J ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J ) )
7976, 78ax-mp 5 . . . . 5 |- ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( J tX J )
8079eqcomi 2631 . . . 4 |- ( J tX J ) = ( ( J tX J ) ↾t ( CC X. CC ) )
819simprd 479 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
826, 46, 42dvlem 23660 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
8382, 4fmptd 6385 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
84 ssdif 3745 . . . . . . . . 9 |- ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
8533, 84mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
8646ssdifssd 3748 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
87 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
8833, 7syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
8988, 25sseqtrd 3641 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J ↾t S ) )
90 difssd 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U. ( J ↾t S ) \ X ) C_ U. ( J ↾t S ) )
9189, 90unssd 3789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) C_ U. ( J ↾t S ) )
92 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) )
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) )
9428ntrss 20859 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) )
9523, 91, 93, 94syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) )
9695, 31sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) )
9796, 42elind 3798 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
9833a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
99 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J ↾t S ) ↾t X ) = ( ( J ↾t S ) ↾t X )
10028, 99restntr 20986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
10123, 26, 98, 100syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
1023cnfldtop 22587 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- J e. Top
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> J e. Top )
104 cnex 10017 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC e. _V
105 ssexg 4804 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
1065, 104, 105sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
107 restabs 20969 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J ↾t S ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
108103, 7, 106, 107syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t S ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
109108fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t X ) ) = ( int ` ( J ↾t X ) ) )
110109fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
111101, 110eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
11297, 111eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
113 undif1 4043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
11442snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { C } C_ X )
115 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
116114, 115sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
117113, 116syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
118117oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J ↾t X ) )
119118fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( int ` ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J ↾t X ) ) )
120 undif1 4043 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
12142, 69elind 3798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
122121snssd 4340 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
123 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
124122, 123sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
125120, 124syl5eq 2668 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
126119, 125fveq12d 6197 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J ↾t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
127112, 126eleqtrrd 2704 . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
12883, 85, 86, 3, 87, 127limcres 23650 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
12985resmptd 5452 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
130129oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
131128, 130eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
13281, 131eleqtrd 2703 . . . . 5 |- ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
133 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
134133, 3dvcnp2 23683 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
1355, 13, 14, 68, 134syl31anc 1329 . . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) )
1363, 133cnplimc 23651 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
13764, 69, 136syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G e. ( ( ( J ↾t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) ) )
138135, 137mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) ) )
139138simprd 479 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( G lim CC C ) )
140 difss 3737 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
141140, 57sstri 3612 . . . . . . . . 9 |- ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
142141a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y )
143 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( Y u. { C } ) ) = ( J ↾t ( Y u. { C } ) )
144 difssd 3738 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) C_ U. ( J ↾t S ) )
14589, 144unssd 3789 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J ↾t S ) )
146 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) )
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) )
14828ntrss 20859 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) )
14923, 145, 147, 148syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) )
150149, 31sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) )
151150, 69elind 3798 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
15257a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
153 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) = ( ( J ↾t S ) ↾t Y )
15428, 153restntr 20986 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J ↾t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J ↾t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
15523, 27, 152, 154syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
156 restabs 20969 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) = ( J ↾t Y ) )
157103, 14, 106, 156syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) = ( J ↾t Y ) )
158157fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) ) = ( int ` ( J ↾t Y ) ) )
159158fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( int ` ( ( J ↾t S ) ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
160155, 159eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J ↾t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
161151, 160eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
16269snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { C } C_ Y )
163 ssequn2 3786 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
164162, 163sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
165164oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ↾t ( Y u. { C } ) ) = ( J ↾t Y ) )
166165fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( int ` ( J ↾t ( Y u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J ↾t Y ) ) )
167166, 125fveq12d 6197 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
168161, 167eleqtrrd 2704 . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
16913, 142, 64, 3, 143, 168limcres 23650 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( G lim CC C ) )
17013, 142feqresmpt 6250 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
171170oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
172169, 171eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ph -> ( G lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
173139, 172eleqtrd 2703 . . . . 5 |- ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) lim CC C ) )
1743mulcn 22670 . . . . . 6 |- x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
1755, 6, 7dvcl 23663 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
1761, 175mpdan 702 . . . . . . 7 |- ( ph -> K e. CC )
17713, 69ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
178 opelxpi 5148 . . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ ( G ` C ) e. CC ) -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
179176, 177, 178syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
18077cncnpi 21082 . . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
181174, 179, 180sylancr 695 . . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
18255, 59, 74, 74, 3, 80, 132, 173, 181limccnp2 23656 . . . 4 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) lim CC C ) )
18316simprd 479 . . . . . 6 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
18470, 12fmptd 6385 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
18564ssdifssd 3748 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
186 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
187 undif1 4043 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
188187, 164syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
189188oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J ↾t Y ) )
190189fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( int ` ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J ↾t Y ) ) )
191190, 125fveq12d 6197 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( int ` ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
192161, 191eleqtrrd 2704 . . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. ( ( int ` ( J ↾t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
193184, 62, 185, 3, 186, 192limcres 23650 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
19462resmptd 5452 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
195194oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
196193, 195eqtr3d 2658 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
197183, 196eleqtrd 2703 . . . . 5 |- ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
19888, 5sstrd 3613 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X i^i Y ) C_ CC )
199 cncfmptc 22714 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) e. CC /\ ( X i^i Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
20043, 198, 74, 199syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
201 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
202200, 121, 201cnmptlimc 23654 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
20343adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
204 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) = ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) )
205203, 204fmptd 6385 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) : ( X i^i Y ) --> CC )
206205limcdif 23640 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) )
207 resmpt 5449 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y ) -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
208140, 207mp1i 13 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
209208oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
210206, 209eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
211202, 210eleqtrd 2703 . . . . 5 |- ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) lim CC C ) )
2125, 13, 14dvcl 23663 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
21311, 212mpdan 702 . . . . . . 7 |- ( ph -> L e. CC )
214 opelxpi 5148 . . . . . . 7 |- ( ( L e. CC /\ ( F ` C ) e. CC ) -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
215213, 43, 214syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
21677cncnpi 21082 . . . . . 6 |- ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
217174, 215, 216sylancr 695 . . . . 5 |- ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
21871, 44, 74, 74, 3, 80, 197, 211, 217limccnp2 23656 . . . 4 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) lim CC C ) )
2193addcn 22668 . . . . 5 |- + e. ( ( J tX J ) Cn J )
220176, 177mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
221213, 43mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
222 opelxpi 5148 . . . . . 6 |- ( ( ( K x. ( G ` C ) ) e. CC /\ ( L x. ( F ` C ) ) e. CC ) -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
223220, 221, 222syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
22477cncnpi 21082 . . . . 5 |- ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
225219, 223, 224sylancr 695 . . . 4 |- ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
22660, 72, 74, 74, 3, 80, 182, 218, 225limccnp2 23656 . . 3 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
22742adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. X )
22832, 227ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
22937, 228subcld 10392 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
230229, 59mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
23169adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. Y )
23256, 231ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
23359, 232subcld 10392 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
234233, 228mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
23547, 227sseldd 3604 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
23648, 235subcld 10392 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
237230, 234, 236, 54divdird 10839 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
23837, 59mulcld 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
239228, 59mulcld 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
240228, 232mulcld 10060 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
241238, 239, 240npncand 10416 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
24237, 228, 59subdird 10487 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
243233, 228mulcomd 10061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
244228, 59, 232subdid 10486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
245243, 244eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
246242, 245oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
247 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X --> CC -> F Fn X )
2486, 247syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F Fn X )
249248adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
250 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : Y --> CC -> G Fn Y )
25113, 250syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G Fn Y )
252251adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
253 ssexg 4804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
25446, 104, 253sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. _V )
255254adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
256 ssexg 4804 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
25764, 104, 256sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. _V )
258257adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
259 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
260 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
261 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
262249, 252, 255, 258, 259, 260, 261ofval 6906 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
26335, 262mpdan 702 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
264 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
265 eqidd 2623 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
266249, 252, 255, 258, 259, 264, 265ofval 6906 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
267121, 266mpidan 704 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
268263, 267oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
269241, 246, 2683eqtr4d 2666 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
270269oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
271229, 59, 236, 54div23d 10838 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
272233, 228, 236, 54div23d 10838 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
273271, 272oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
274237, 270, 2733eqtr3d 2664 . . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
275274mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
276275oveq1d 6665 . . 3 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) lim CC C ) )
277226, 276eleqtrrd 2704 . 2 |- ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) )
278 eqid 2622 . . 3 |- ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
279 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
280279adantl 482 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
281280, 6, 13, 254, 257, 259off 6912 . . 3 |- ( ph -> ( F oF x. G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
2822, 3, 278, 5, 281, 88eldv 23662 . 2 |- ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J ↾t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) lim CC C ) ) ) )
28331, 277, 282mpbir2and 957 1 |- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   ↾t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂfldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631
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