Theorem scmatcrng 20327

Description: The subring of scalar matrices (over a commutative ring) is a commutative ring. (Contributed by AV, 21-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.s	|- S = ( N ScMat R )
scmatcrng.c	|- C = ( A ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
scmatcrng	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. CRing )

Proof of Theorem scmatcrng

Dummy variables x y a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		scmatid.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
3		scmatid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
4		scmatid.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
5		scmatid.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
6		scmatid.s	. . . . 5 |- S = ( N ScMat R )
7	2, 3, 4, 5, 6	scmatsrng 20326	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> S e. (SubRing ` A ) )
8	1, 7	sylan2 491	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> S e. (SubRing ` A ) )
9		scmatcrng.c	. . . 4 |- C = ( A ↾s S )
10	9	subrgring 18783	. . 3 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> C e. Ring )
11	8, 10	syl 17	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. Ring )
12		simp1lr 1125	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. CRing )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
14		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> a e. N )
15		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
16	2, 13, 6	scmatmat 20315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( x e. S -> x e. ( Base ` A ) ) )
17	16	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` A ) )
18	17	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. ( Base ` A ) )
19	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> x e. ( Base ` A ) )
20	2, 4, 13, 14, 15, 19	matecld 20232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a x b ) e. E )
21	2, 13, 6	scmatmat 20315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( y e. S -> y e. ( Base ` A ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ y e. S ) -> y e. ( Base ` A ) )
23	22	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. ( Base ` A ) )
24	23	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> y e. ( Base ` A ) )
25	2, 4, 13, 14, 15, 24	matecld 20232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a y b ) e. E )
26		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
27	4, 26	crngcom 18562	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. CRing /\ ( a x b ) e. E /\ ( a y b ) e. E ) -> ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) = ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) )
28	12, 20, 25, 27	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) = ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) )
29	28	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = b , ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) , .0. ) = if ( a = b , ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) , .0. ) )
30	29	mpt2eq3dva 6719	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) , .0. ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) , .0. ) ) )
31	1	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
32	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( N DMat R ) = ( N DMat R )
34	2, 3, 4, 5, 6, 33	scmatdmat 20321	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( x e. S -> x e. ( N DMat R ) ) )
35	1, 34	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( x e. S -> x e. ( N DMat R ) ) )
36	2, 3, 4, 5, 6, 33	scmatdmat 20321	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( y e. S -> y e. ( N DMat R ) ) )
37	1, 36	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( y e. S -> y e. ( N DMat R ) ) )
38	35, 37	anim12d 586	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( x e. ( N DMat R ) /\ y e. ( N DMat R ) ) ) )
39	38	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x e. ( N DMat R ) /\ y e. ( N DMat R ) ) )
40	2, 3, 5, 33	dmatmul 20303	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( x e. ( N DMat R ) /\ y e. ( N DMat R ) ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) , .0. ) ) )
41	32, 39, 40	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a x b ) ( .r ` R ) ( a y b ) ) , .0. ) ) )
42	39	ancomd 467	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( y e. ( N DMat R ) /\ x e. ( N DMat R ) ) )
43	2, 3, 5, 33	dmatmul 20303	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. ( N DMat R ) /\ x e. ( N DMat R ) ) ) -> ( y ( .r ` A ) x ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) , .0. ) ) )
44	32, 42, 43	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( y ( .r ` A ) x ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = b , ( ( a y b ) ( .r ` R ) ( a x b ) ) , .0. ) ) )
45	30, 41, 44	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) )
46	45	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) )
47	9	subrgbas 18789	. . . . . 6 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> S = ( Base ` C ) )
48	47	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( Base ` C ) = S )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
50	9, 49	ressmulr 16006	. . . . . . . . 9 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( .r ` A ) = ( .r ` C ) )
51	50	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( .r ` C ) = ( .r ` A ) )
52	51	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( x ( .r ` C ) y ) = ( x ( .r ` A ) y ) )
53	51	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( y ( .r ` C ) x ) = ( y ( .r ` A ) x ) )
54	52, 53	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) <-> ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) ) )
55	48, 54	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( A. y e. ( Base ` C ) ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) <-> A. y e. S ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) ) )
56	48, 55	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` A ) -> ( A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) ) )
57	8, 56	syl 17	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) <-> A. x e. S A. y e. S ( x ( .r ` A ) y ) = ( y ( .r ` A ) x ) ) )
58	46, 57	mpbird 247	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) )
59		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
60		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` C ) = ( .r ` C )
61	59, 60	iscrng2 18563	. 2 |- ( C e. CRing <-> ( C e. Ring /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) ( x ( .r ` C ) y ) = ( y ( .r ` C ) x ) ) )
62	11, 58, 61	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> C e. CRing )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  SubRingcsubrg 18776   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-dmat 20296  df-scmat 20297

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