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Theorem dmatmul 20303
Description: The product of two diagonal matrices. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmatid.a |- A = ( N Mat R )
dmatid.b |- B = ( Base ` A )
dmatid.0 |- .0. = ( 0g ` R )
dmatid.d |- D = ( N DMat R )
Assertion
Ref Expression
dmatmul |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
Distinct variable groups:   x, D, y   x, N, y   x, R, y   x, X, y   x, Y, y
Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem dmatmul
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmatid.a . . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
2 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
31, 2matmulr 20244 . . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
43adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
54eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( .r ` A ) = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
65oveqd 6667 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) )
7 eqid 2622 . . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
8 eqid 2622 . . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
9 simplr 792 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Ring )
10 simpll 790 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> N e. Fin )
11 dmatid.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
12 dmatid.0 . . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` R )
13 dmatid.d . . . . . . 7 |- D = ( N DMat R )
141, 11, 12, 13dmatmat 20300 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. B ) )
1514imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. B )
161, 7, 11matbas2i 20228 . . . . 5 |- ( X e. B -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
1715, 16syl 17 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
1817adantrr 753 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
191, 11, 12, 13dmatmat 20300 . . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. B ) )
2019imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. B )
211, 7, 11matbas2i 20228 . . . . 5 |- ( Y e. B -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
2220, 21syl 17 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
2322adantrl 752 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
242, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 18, 23mamuval 20192 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ) )
25 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
26 ringcmn 18581 . . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
2726ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. CMnd )
28273ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. CMnd )
2928adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> R e. CMnd )
30103ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> N e. Fin )
3130adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> N e. Fin )
32 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
33 ovexd 6680 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. _V )
34 fvexd 6203 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
3532, 31, 33, 34fsuppmptdm 8286 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
3693ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Ring )
3736ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
38 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> x e. N )
3938ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. N )
40 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
41 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
421, 41, 12, 13dmatmat 20300 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> X e. ( Base ` A ) ) )
4342imp 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. D ) -> X e. ( Base ` A ) )
4443adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
45443ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
4645ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
471, 7matecl 20231 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N /\ k e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
4839, 40, 46, 47syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
49 simplr3 1105 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. N )
501, 41, 12, 13dmatmat 20300 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) )
5150imp 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ Y e. D ) -> Y e. ( Base ` A ) )
5251adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
53523ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
5453ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
551, 7matecl 20231 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. N /\ y e. N /\ Y e. ( Base ` A ) ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
5640, 49, 54, 55syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
577, 8ringcl 18561 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X k ) e. ( Base ` R ) /\ ( k Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
5837, 48, 56, 57syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
5938adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> x e. N )
60 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> y e. N )
6115adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. B )
6261, 11syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. ( Base ` A ) )
63623ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
641, 7matecl 20231 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ X e. ( Base ` A ) ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
6538, 60, 63, 64syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x X y ) e. ( Base ` R ) )
6650a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( X e. D -> ( Y e. D -> Y e. ( Base ` A ) ) ) )
6766imp32 449 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
68673ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
691, 7matecl 20231 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N /\ y e. N /\ Y e. ( Base ` A ) ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
7038, 60, 68, 69syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
717, 8ringcl 18561 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X y ) e. ( Base ` R ) /\ ( x Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
7236, 65, 70, 71syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
7372adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
74 eqtr 2641 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k = x /\ x = y ) -> k = y )
7574ancoms 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = y /\ k = x ) -> k = y )
7675oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ k = x ) -> ( x X k ) = ( x X y ) )
7776adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( x X k ) = ( x X y ) )
78 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k Y y ) = ( x Y y ) )
7978adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( k Y y ) = ( x Y y ) )
8077, 79oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k = x ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
817, 25, 29, 31, 35, 58, 59, 73, 80gsumdifsnd 18360 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) )
82 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> X e. D )
8310, 9, 823jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
84833ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
8584ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
8638ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> x e. N )
87 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> k e. N )
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> k e. N )
89 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> k =/= x )
9089necomd 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( N \ { x } ) -> x =/= k )
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> x =/= k )
921, 11, 12, 13dmatelnd 20302 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) /\ ( x e. N /\ k e. N /\ x =/= k ) ) -> ( x X k ) = .0. )
9385, 86, 88, 91, 92syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( x X k ) = .0. )
9493oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
9536ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> R e. Ring )
96 simplr3 1105 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> y e. N )
9753ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> Y e. ( Base ` A ) )
9888, 96, 97, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
997, 8, 12ringlz 18587 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( k Y y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
10095, 98, 99syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
10194, 100eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. ( N \ { x } ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
102101mpteq2dva 4744 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) )
103102oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) )
104 diffi 8192 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. Fin -> ( N \ { x } ) e. Fin )
105 ringmnd 18556 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
106104, 105anim12ci 591 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
107106adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
1081073ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
109108adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) )
11012gsumz 17374 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ ( N \ { x } ) e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) = .0. )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> .0. ) ) = .0. )
112103, 111eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = .0. )
113112oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( ( R gsumg ( k e. ( N \ { x } ) |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) )
114105ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> R e. Mnd )
1151143ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> R e. Mnd )
11638, 60, 53, 69syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( x Y y ) e. ( Base ` R ) )
11736, 65, 116, 71syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) )
118115, 117jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) )
119118adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) )
1207, 25, 12mndlid 17311 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
121119, 120syl 17 . . . . . 6 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( .0. ( +g ` R ) ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
12281, 113, 1213eqtrd 2660 . . . . 5 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
123 iftrue 4092 . . . . . 6 |- ( x = y -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
124123adantr 481 . . . . 5 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) )
125122, 124eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
126 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> Y e. D )
12710, 9, 1263jca 1242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
1281273ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
129128ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
130129adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) )
131 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k e. N )
132 simplr3 1105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> y e. N )
133132adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> y e. N )
134 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
135 neeq1 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = k -> ( x =/= y <-> k =/= y ) )
136135biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= y -> ( x = k -> k =/= y ) )
137134, 136sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. x = y -> ( x = k -> k =/= y ) )
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( x = k -> k =/= y ) )
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x = k -> k =/= y ) )
140139impcom 446 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k =/= y )
1411, 11, 12, 13dmatelnd 20302 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. D ) /\ ( k e. N /\ y e. N /\ k =/= y ) ) -> ( k Y y ) = .0. )
142130, 131, 133, 140, 141syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( k Y y ) = .0. )
143142oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) )
14436ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
14538ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> x e. N )
146 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> k e. N )
14763ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
148145, 146, 147, 47syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( x X k ) e. ( Base ` R ) )
1497, 8, 12ringrz 18588 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( x X k ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
150144, 148, 149syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
151150adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
152143, 151eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
15384ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
154153adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. D ) )
155145adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> x e. N )
156 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> k e. N )
157 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x =/= k <-> -. x = k )
158157biimpri 218 . . . . . . . . . . . 12 |- ( -. x = k -> x =/= k )
159158adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> x =/= k )
160154, 155, 156, 159, 92syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( x X k ) = .0. )
161160oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) )
16268ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> Y e. ( Base ` A ) )
163146, 132, 162, 55syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( k Y y ) e. ( Base ` R ) )
164144, 163, 99syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
165164adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
166161, 165eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( -. x = k /\ ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
167152, 166pm2.61ian 831 . . . . . . 7 |- ( ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) /\ k e. N ) -> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) = .0. )
168167mpteq2dva 4744 . . . . . 6 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) = ( k e. N |-> .0. ) )
169168oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) )
170105anim2i 593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( N e. Fin /\ R e. Mnd ) )
171170ancomd 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) )
17212gsumz 17374 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ N e. Fin ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
173171, 172syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
174173adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
1751743ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
176175adantl 482 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> .0. ) ) = .0. )
177 iffalse 4095 . . . . . . 7 |- ( -. x = y -> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) = .0. )
178177eqcomd 2628 . . . . . 6 |- ( -. x = y -> .0. = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
179178adantr 481 . . . . 5 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> .0. = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
180169, 176, 1793eqtrd 2660 . . . 4 |- ( ( -. x = y /\ ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
181125, 180pm2.61ian 831 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) /\ x e. N /\ y e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) = if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) )
182181mpt2eq3dva 6719 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( x X k ) ( .r ` R ) ( k Y y ) ) ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
1836, 24, 1823eqtrd 2660 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. D /\ Y e. D ) ) -> ( X ( .r ` A ) Y ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( ( x X y ) ( .r ` R ) ( x Y y ) ) , .0. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   DMat cdmat 20294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-dmat 20296
This theorem is referenced by:  dmatmulcl  20306  dmatcrng  20308  scmatscmiddistr  20314  scmatcrng  20327
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