Theorem scmatf1 20337

Description: There is a 1-1 function from a ring to any ring of scalar matrices with positive dimension over this ring. (Contributed by AV, 25-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	|- K = ( Base ` R )
scmatrhmval.a	|- A = ( N Mat R )
scmatrhmval.o	|- .1. = ( 1r ` A )
scmatrhmval.t	|- .* = ( .s ` A )
scmatrhmval.f	|- F = ( x e. K |-> ( x .* .1. ) )
scmatrhmval.c	|- C = ( N ScMat R )

Assertion

Ref	Expression
scmatf1	|- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K -1-1-> C )

Distinct variable groups:   x, K   x, R   x, .1.   x, .*   x, C   x, N

Allowed substitution hints:   A( x)   F( x)

Proof of Theorem scmatf1

Dummy variables y z i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
2		scmatrhmval.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
3		scmatrhmval.o	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` A )
4		scmatrhmval.t	. . . 4 |- .* = ( .s ` A )
5		scmatrhmval.f	. . . 4 |- F = ( x e. K |-> ( x .* .1. ) )
6		scmatrhmval.c	. . . 4 |- C = ( N ScMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatf 20335	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> F : K --> C )
8	7	3adant2 1080	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K --> C )
9		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Ring )
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( y e. K /\ z e. K ) -> y e. K )
11	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 20333	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ y e. K ) -> ( F ` y ) = ( y .* .1. ) )
12	9, 10, 11	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( F ` y ) = ( y .* .1. ) )
13		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( y e. K /\ z e. K ) -> z e. K )
14	1, 2, 3, 4, 5	scmatrhmval 20333	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ z e. K ) -> ( F ` z ) = ( z .* .1. ) )
15	9, 13, 14	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( F ` z ) = ( z .* .1. ) )
16	12, 15	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) ) )
17	16	3adantl2 1218	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) <-> ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) ) )
18	2	matring 20249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
20	19, 3	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Ring -> .1. e. ( Base ` A ) )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> .1. e. ( Base ` A ) )
22	21, 10	anim12ci 591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( y e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) )
23	1, 2, 19, 4	matvscl 20237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) ) -> ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
24	22, 23	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
25	21, 13	anim12ci 591	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( z e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) )
26	1, 2, 19, 4	matvscl 20237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( z e. K /\ .1. e. ( Base ` A ) ) ) -> ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
27	25, 26	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) )
28	24, 27	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) )
29	28	3adantl2 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) )
30	2, 19	eqmat 20230	. . . . . 6 |- ( ( ( y .* .1. ) e. ( Base ` A ) /\ ( z .* .1. ) e. ( Base ` A ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) <-> A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
32		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. N -> ( ( N \ { i } ) u. { i } ) = N )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. N -> N = ( ( N \ { i } ) u. { i } ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> N = ( ( N \ { i } ) u. { i } ) )
35	34	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) ) )
36		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( y .* .1. ) i ) )
37		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( i ( z .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) i ) )
38	36, 37	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) )
39	38	ralunsn 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. N -> ( A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. ( ( N \ { i } ) u. { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) ) )
41	10	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. K ) )
42		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ y e. K ) )
43	41, 42	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) )
44		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. N -> i e. N )
45	44, 44	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. N -> ( i e. N /\ i e. N ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
47	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 20313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ y e. K ) /\ ( i e. N /\ i e. N ) ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) )
48	43, 45, 47	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- i = i
50	49	iftruei 4093	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( i = i , y , ( 0g ` R ) ) = y
51	48, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( y .* .1. ) i ) = y )
52	13	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ z e. K ) )
53		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ z e. K ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) )
55	2, 1, 46, 3, 4	scmatscmide 20313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ z e. K ) /\ ( i e. N /\ i e. N ) ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) )
56	54, 45, 55	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) )
57	49	iftruei 4093	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( i = i , z , ( 0g ` R ) ) = z
58	56, 57	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( i ( z .* .1. ) i ) = z )
59	51, 58	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) <-> y = z ) )
60	59	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ ( i ( y .* .1. ) i ) = ( i ( z .* .1. ) i ) ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
61	35, 40, 60	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) /\ i e. N ) -> ( A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
62	61	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
63	62	3adantl2 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) <-> A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) ) )
64		r19.26 3064	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) <-> ( A. i e. N A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ A. i e. N y = z ) )
65		rspn0 3934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N =/= (/) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
66	65	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N y = z -> y = z ) )
68	67	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. N y = z -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. N A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ A. i e. N y = z ) -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
70	64, 69	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) -> ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> y = z ) )
71	70	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N ( A. j e. ( N \ { i } ) ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) /\ y = z ) -> y = z ) )
72	63, 71	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i ( y .* .1. ) j ) = ( i ( z .* .1. ) j ) -> y = z ) )
73	31, 72	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( y .* .1. ) = ( z .* .1. ) -> y = z ) )
74	17, 73	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
75	74	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> A. y e. K A. z e. K ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) )
76		dff13 6512	. 2 |- ( F : K -1-1-> C <-> ( F : K --> C /\ A. y e. K A. z e. K ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) )
77	8, 75, 76	sylanbrc 698	1 |- ( ( N e. Fin /\ N =/= (/) /\ R e. Ring ) -> F : K -1-1-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .scvsca 15945   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-scmat 20297

This theorem is referenced by:  scmatf1o  20338