Theorem scmatsubcl 20323

Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatid.a	|- A = ( N Mat R )
scmatid.b	|- B = ( Base ` A )
scmatid.e	|- E = ( Base ` R )
scmatid.0	|- .0. = ( 0g ` R )
scmatid.s	|- S = ( N ScMat R )

Assertion

Ref	Expression
scmatsubcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S )

Proof of Theorem scmatsubcl

Dummy variables c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatid.e	. . . . 5 |- E = ( Base ` R )
2		scmatid.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
3		scmatid.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` A ) = ( .s ` A )
6		scmatid.s	. . . . 5 |- S = ( N ScMat R )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 20312	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ X e. S ) -> E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
8	7	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ X e. S ) -> E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
9	8	adantrr 753	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatscmid 20312	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ Y e. S ) -> E. d e. E Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
11	10	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Y e. S -> E. d e. E Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
12		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) /\ Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) = ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) /\ ( X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) /\ Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) = ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Scalar ` A ) = (Scalar ` A )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` (Scalar ` A ) ) = ( Base ` (Scalar ` A ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -g ` A ) = ( -g ` A )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -g ` (Scalar ` A ) ) = ( -g ` (Scalar ` A ) )
18	2	matlmod 20235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. LMod )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> A e. LMod )
20	2	matsca2 20226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R = (Scalar ` A ) )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` A ) ) )
22	1, 21	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> E = ( Base ` (Scalar ` A ) ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( c e. E <-> c e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) ) )
24	23	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( c e. E -> c e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) -> ( c e. E -> c e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> c e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) )
27	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( d e. E <-> d e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) ) )
28	27	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) -> d e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> d e. ( Base ` (Scalar ` A ) ) )
30	2	matring 20249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
31	3, 4	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. Ring -> ( 1r ` A ) e. B )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) e. B )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( 1r ` A ) e. B )
34	3, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33	lmodsubdir 18921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
35	34	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) = ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
36		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
37	20	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> (Scalar ` A ) = R )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> (Scalar ` A ) = R )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( -g ` (Scalar ` A ) ) = ( -g ` R ) )
40	39	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) = ( c ( -g ` R ) d ) )
41		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> R e. Grp )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> R e. Grp )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> c e. E )
45		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> d e. E )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
47	1, 46	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Grp /\ c e. E /\ d e. E ) -> ( c ( -g ` R ) d ) e. E )
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( c ( -g ` R ) d ) e. E )
49	40, 48	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) e. E )
50	1, 2, 3, 5	matvscl 20237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) e. E /\ ( 1r ` A ) e. B ) ) -> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. B )
51	36, 49, 33, 50	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. B )
52		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( e = ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) -> ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( e = ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) -> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) <-> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) /\ e = ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ) -> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) <-> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) )
55		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
56	49, 54, 55	rspcedvd 3317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> E. e e. E ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) )
57	1, 2, 3, 4, 5, 6	scmatel 20311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. S <-> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. B /\ E. e e. E ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. S <-> ( ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. B /\ E. e e. E ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) = ( e ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) ) )
59	51, 56, 58	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( -g ` (Scalar ` A ) ) d ) ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) e. S )
60	35, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) e. S )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) /\ ( X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) /\ Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) ) -> ( ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ( -g ` A ) ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) e. S )
62	13, 61	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) /\ ( X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) /\ Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S )
63	62	exp32 631	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) /\ c e. E ) -> ( X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
64	63	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
65	64	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ d e. E ) -> ( Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
66	65	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( E. d e. E Y = ( d ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
67	11, 66	syldc 48	. . . 4 |- ( Y e. S -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
68	67	adantl 482	. . 3 |- ( ( X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) ) )
69	68	impcom 446	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( E. c e. E X = ( c ( .s ` A ) ( 1r ` A ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S ) )
70	9, 69	mpd 15	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( X e. S /\ Y e. S ) ) -> ( X ( -g ` A ) Y ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   Mat cmat 20213   ScMat cscmat 20295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-scmat 20297

This theorem is referenced by:  scmatsgrp  20325  scmatsgrp1  20328