Theorem fsumrelem 14539

Description: Lemma for fsumre 14540, fsumim 14541, and fsumcj 14542. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumre.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumrelem.3	|- F : CC --> CC
fsumrelem.4	|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	|- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, A   x, B, y   k, F, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables f m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
2		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 |- F : CC --> CC
3	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( F ` 0 ) e. CC )
4	1, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) e. CC
5	4	addid1i 10223	. . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) + 0 ) = ( F ` 0 )
6		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( x + y ) = ( 0 + y ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( 0 + y ) ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) )
10	7, 9	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = ( 0 + 0 ) )
12		00id 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
13	11, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = 0 )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( F ` 0 ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
17	14, 16	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) ) )
18		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
19	10, 17, 18	vtocl2ga 3274	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
20	1, 1, 19	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) )
21	5, 20	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 )
22	4, 4, 1	addcani 10229	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 ) <-> ( F ` 0 ) = 0 )
23	21, 22	mpbi 220	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = 0
24		sumeq1 14419	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = sum_ k e. (/) B )
25		sum0 14452	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) B = 0
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A B = 0 )
27	26	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( F ` sum_ k e. A B ) = ( F ` 0 ) )
28		sumeq1 14419	. . . . 5 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( F ` B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
29		sum0 14452	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( F ` B ) = 0
30	28, 29	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( A = (/) -> sum_ k e. A ( F ` B ) = 0 )
31	23, 27, 30	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( A = (/) -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
32	31	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
33		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
35		fsumre.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
36		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
37	35, 36	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
39		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
40		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
42		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
43	38, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
44	43	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) e. CC )
45		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. NN )
46		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
47	45, 46	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
48	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
49	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( f ` x ) e. A )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
51	36	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. A /\ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
52	50, 35, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( F ` B ) )
54		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` B ) e. _V
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> ( F ` B ) ) = ( k e. A |-> ( F ` B ) )
56	55	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ ( F ` B ) e. _V ) -> ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) = ( F ` B ) )
57	50, 54, 56	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) = ( F ` B ) )
58	53, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) )
59	58	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A. k e. A ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) )
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k F
62		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) )
63	61, 62	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) )
64		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) )
65	63, 64	nfeq 2776	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` x ) -> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) )
69	67, 68	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` x ) -> ( ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) <-> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) ) )
70	65, 69	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) e. A -> ( A. k e. A ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` k ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` k ) -> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) ) )
71	49, 60, 70	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) )
72		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) )
73	41, 72	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) )
74	73	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) ) = ( F ` ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) ) )
75		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) o. f ) ` x ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) )
76	41, 75	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) o. f ) ` x ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) )
77	71, 74, 76	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` x ) ) = ( ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) o. f ) ` x ) )
78	34, 44, 47, 48, 77	seqhomo 12848	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( F ` ( seq 1 ( + , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) = ( seq 1 ( + , ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
79		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` x ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` x ) ) )
80	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
81	79, 45, 39, 80, 73	fsum 14451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( F ` sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( F ` ( seq 1 ( + , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` x ) -> ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` ( f ` x ) ) )
84	2	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. CC -> ( F ` B ) e. CC )
85	35, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
86	85, 55	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( F ` B ) ) : A --> CC )
88	87	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` m ) e. CC )
89	83, 45, 39, 88, 76	fsum 14451	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
90	78, 82, 89	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( F ` sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` m ) )
91		sumfc 14440	. . . . . . 7 |- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = sum_ k e. A B
92	91	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( F ` sum_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) ) = ( F ` sum_ k e. A B )
93		sumfc 14440	. . . . . 6 |- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> ( F ` B ) ) ` m ) = sum_ k e. A ( F ` B )
94	90, 92, 93	3eqtr3g 2679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
95	94	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
96	95	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
97	96	expimpd 629	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
98		fsumre.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
99		fz1f1o 14441	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
100	98, 99	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
101	32, 97, 100	mpjaod 396	1 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumre  14540  fsumim  14541  fsumcj  14542