Theorem sge0reuzb 40665

Description: Value of the generalized sum of uniformly bounded nonnegative reals, when the domain is a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reuzb.k	|- F/ k ph
sge0reuzb.p	|- F/ x ph
sge0reuzb.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
sge0reuzb.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
sge0reuzb.b	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0reuzb.x	|- ( ph -> E. x e. RR A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x )

Assertion

Ref	Expression
sge0reuzb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, k   B, n, x   k, M, n, x   k, Z, n, x   ph, n

Allowed substitution hints:   ph( x, k)   B( k)

Proof of Theorem sge0reuzb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reuzb.k	. . 3 |- F/ k ph
2		sge0reuzb.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		sge0reuzb.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4		sge0reuzb.b	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
5	1, 2, 3, 4	sge0reuz 40664	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) )
6		nfv 1843	. . . 4 |- F/ n ph
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) = ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B )
8		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k n e. Z
9	1, 8	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ n e. Z )
10		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( M ... n ) e. Fin )
11		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
12	11, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... n ) -> k e. Z )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> k e. Z )
14		rge0ssre 12280	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
15	14, 4	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> B e. RR )
16	13, 15	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... n ) ) -> B e. RR )
17	16	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ k e. ( M ... n ) ) -> B e. RR )
18	9, 10, 17	fsumreclf 39808	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B e. RR )
19	6, 7, 18	rnmptssd 39385	. . 3 |- ( ph -> ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ RR )
20		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
21	2, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
22	21, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. Z )
23		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
24		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( M ... n ) = ( M ... M ) )
25	24	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> sum_ k e. ( M ... n ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B )
26	25	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... n ) B <-> sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B ) )
27	26	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( M e. Z /\ sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... M ) B ) -> E. n e. Z sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... n ) B )
28	22, 23, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. n e. Z sum_ k e. ( M ... M ) B = sum_ k e. ( M ... n ) B )
29		sumex 14418	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( M ... M ) B e. _V
30	29	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B e. _V )
31	7, 28, 30	elrnmptd 39366	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... M ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
32		ne0i 3921	. . . 4 |- ( sum_ k e. ( M ... M ) B e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) =/= (/) )
33	31, 32	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) =/= (/) )
34		sge0reuzb.x	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x )
35		sge0reuzb.p	. . . . 5 |- F/ x ph
36		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
37	7	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) <-> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) <-> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
39	38	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ x e. RR )
42		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x
43	41, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x )
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n y <_ x
45		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x /\ n e. Z ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x /\ y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> y = sum_ k e. ( M ... n ) B )
47		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x /\ y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x )
48	46, 47	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x /\ y = sum_ k e. ( M ... n ) B ) -> y <_ x )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x -> ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) )
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x /\ n e. Z ) -> ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x -> ( n e. Z -> ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) ) )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) -> ( n e. Z -> ( y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) ) )
53	43, 44, 52	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) -> ( E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> ( E. n e. Z y = sum_ k e. ( M ... n ) B -> y <_ x ) )
55	40, 54	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) /\ y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) ) -> y <_ x )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x ) -> A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x )
57	56	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x -> A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x ) )
58	57	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR -> ( A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x -> A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x ) ) )
59	35, 58	reximdai 3012	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. n e. Z sum_ k e. ( M ... n ) B <_ x -> E. x e. RR A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x ) )
60	34, 59	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x )
61		supxrre 12157	. . 3 |- ( ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) y <_ x ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR , < ) )
62	19, 33, 60, 61	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR , < ) )
63	5, 62	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. Z |-> B ) ) = sup ( ran ( n e. Z |-> sum_ k e. ( M ... n ) B ) , RR , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   ...cfz 12326   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  meaiuninclem  40697