Theorem sge0rpcpnf 40638

Description: The sum of an infinite number of a positive constant, is +oo (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0rpcpnf.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0rpcpnf.nfi	|- ( ph -> -. A e. Fin )
sge0rpcpnf.b	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
sge0rpcpnf	|- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem sge0rpcpnf

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0rpcpnf.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. V )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> A e. V )
3		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR*
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. RR* )
5		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- +oo e. RR*
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> +oo e. RR* )
7		sge0rpcpnf.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR+ )
8	7	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR* )
9	7	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ B )
10	7	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. RR )
11		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. RR -> B < +oo )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B < +oo )
13	8, 6, 12	xrltled 39486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B <_ +oo )
14	4, 6, 8, 9, 13	eliccxrd 39753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
17	15, 16	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
19	2, 18	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR* )
20	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> +oo e. RR* )
21		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo )
22	19, 20, 21	xrgtned 39538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> +oo =/= (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) )
23	22	necomd 2849	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) =/= +oo )
24	23	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo )
25	2, 18	sge0repnf 40603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo ) )
26	24, 25	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR )
27	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> B e. RR )
28	7	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ph -> B =/= 0 )
29	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> B =/= 0 )
30	26, 27, 29	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) e. RR )
31		arch 11289	. . . . 5 |- ( ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) e. RR -> E. n e. NN ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n )
32	30, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> E. n e. NN ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n )
33		sge0rpcpnf.nfi	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. A e. Fin )
34		ishashinf 13247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. Fin -> A. n e. NN E. y e. ~P A ( # ` y ) = n )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. NN E. y e. ~P A ( # ` y ) = n )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y e. ~P A ( # ` y ) = n )
37		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. ~P A ( # ` y ) = n <-> E. y ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) )
38	36, 37	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN ) -> E. y ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> E. y ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) )
41		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n )
42		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> y e. ~P A )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ ( # ` y ) = n ) -> ( # ` y ) = n )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN /\ ( # ` y ) = n ) -> n e. NN )
45	43, 44	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ ( # ` y ) = n ) -> ( # ` y ) e. NN )
46		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` y ) e. NN -> ( # ` y ) e. NN0 )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` y ) e. NN -> y e. _V )
49		hashclb 13149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> ( y e. Fin <-> ( # ` y ) e. NN0 ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` y ) e. NN -> ( y e. Fin <-> ( # ` y ) e. NN0 ) )
51	46, 50	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` y ) e. NN -> y e. Fin )
52	45, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. NN /\ ( # ` y ) = n ) -> y e. Fin )
53	52	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> y e. Fin )
54	53	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> y e. Fin )
55	42, 54	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
56		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n )
57	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR )
58		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> n e. RR )
59	58	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> n e. RR )
60	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> B e. RR+ )
61	60	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> B e. RR+ )
62	57, 59, 61	ltdivmul2d 11924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> ( ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n <-> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( n x. B ) ) )
63	56, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( n x. B ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( n x. B ) )
65	53	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> y e. Fin )
66	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> 0 e. RR* )
67	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> +oo e. RR* )
68	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> B e. RR* )
69	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> 0 <_ B )
70	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> B < +oo )
71	66, 67, 68, 69, 70	elicod 12224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) /\ x e. y ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
72	65, 71	sge0fsummpt 40607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) = sum_ x e. y B )
73	10	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. CC )
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> B e. CC )
75		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Fin /\ B e. CC ) -> sum_ x e. y B = ( ( # ` y ) x. B ) )
76	65, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> sum_ x e. y B = ( ( # ` y ) x. B ) )
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` y ) = n -> ( ( # ` y ) x. B ) = ( n x. B ) )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) -> ( ( # ` y ) x. B ) = ( n x. B ) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> ( ( # ` y ) x. B ) = ( n x. B ) )
80	72, 76, 79	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> ( n x. B ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
81	80	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> ( n x. B ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
82	81	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> ( n x. B ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
83	64, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
84	55, 83	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) /\ ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) )
85	84	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> ( ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) -> ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) ) )
86	41, 85	eximd 2085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> ( E. y ( y e. ~P A /\ ( # ` y ) = n ) -> E. y ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) ) )
87	40, 86	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> E. y ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) )
88		df-rex 2918	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) <-> E. y ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) )
89	87, 88	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) /\ n e. NN /\ ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
90	89	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> ( n e. NN -> ( ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) ) )
91	90	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> ( E. n e. NN ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) / B ) < n -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) )
92	32, 91	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
93	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> A e. V )
94	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
95		elpwinss 39216	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
96	95	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
97	93, 94, 96	sge0lessmpt 40616	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. ( ~P A i^i Fin ) )
99	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. y ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
100		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y |-> B ) = ( x e. y |-> B )
101	99, 100	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. y |-> B ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x e. y |-> B ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
103	98, 102	sge0xrcl 40602	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) e. RR* )
104	1, 17	sge0xrcl 40602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR* )
105	104	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR* )
106	103, 105	xrlenltd 10104	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) <-> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) ) )
107	97, 106	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
108	107	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
109		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) <-> -. E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
110	108, 109	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> -. E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
111	110	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) -> -. E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
112	92, 111	pm2.65da 600	. 2 |- ( ph -> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo )
113		nltpnft 11995	. . 3 |- ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR* -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo <-> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) )
114	104, 113	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo <-> -. (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < +oo ) )
115	112, 114	mpbird 247	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   #chash 13117   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  hoicvrrex  40770