Theorem hoicvrrex 40770

Description: Any subset of the multidimensional reals can be covered by a countable set of half-open intervals, see Definition 115A (b) of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoicvrrex.fi	|- ( ph -> X e. Fin )
hoicvrrex.y	|- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )

Assertion

Ref	Expression
hoicvrrex	|- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, X, j, k   i, Y   ph, j, k

Allowed substitution hints:   ph( i)   Y( j, k)

Proof of Theorem hoicvrrex

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> j e. RR )
2	1	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> -u j e. RR )
3		opelxpi 5148	. . . . . . . 8 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
4	2, 1, 3	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
5	4	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. ( RR X. RR ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
7	5, 6	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
8		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
9	8, 8	xpex 6962	. . . . . . . 8 |- ( RR X. RR ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR X. RR ) e. _V )
11		hoicvrrex.fi	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Fin )
12		elmapg 7870	. . . . . . 7 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
14	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
15	7, 14	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
16		eqid 2622	. . . 4 |- ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
18		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V
19		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
20	18, 19	elmap 7886	. . 3 |- ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
21	17, 20	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
22		hoicvrrex.y	. . . 4 |- ( ph -> Y C_ ( RR ^m X ) )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) )
24	23, 11	hoicvr 40762	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
25		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> <. -u j , j >. = <. -u j , j >. )
26	25	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
27	26	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) )
29	28	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
30	29	coeq2d 5284	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
31	30	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
32	31	ixpeq2dv 7924	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
33	32	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( l e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
34	24, 33	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ph -> ( RR ^m X ) C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
35	22, 34	sstrd 3613	. . 3 |- ( ph -> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
37	15	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V )
38	16	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. NN /\ ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) e. _V ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
40	39, 5	fmpt3d 6386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) : X --> ( RR X. RR ) )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
43	41, 42	fvovco 39381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) )
44	39	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
47		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <. -u j , j >. e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. -u j , j >. e. _V )
49	6	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. X /\ <. -u j , j >. e. _V ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
50	46, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ` k ) = <. -u j , j >. )
52	45, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) = <. -u j , j >. )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 1st ` <. -u j , j >. ) )
54		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u j e. _V
55		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- j e. _V
56	54, 55	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. -u j , j >. ) = -u j )
58	53, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = -u j )
59	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. -u j , j >. ) )
60	54, 55	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. -u j , j >. ) = j )
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) = j )
63	58, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ` k ) ) ) = ( -u j [,) j ) )
64	43, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( -u j [,) j ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( -u j [,) j ) ) )
66		volico 40200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u j e. RR /\ j e. RR ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
67	2, 1, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) )
68		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR+ )
69		neglt 39496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. RR+ -> -u j < j )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> -u j < j )
71	70	iftrued 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> if ( -u j < j , ( j - -u j ) , 0 ) = ( j - -u j ) )
72	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. CC )
73	72, 72	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( j + j ) )
74	72	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 2 x. j ) = ( j + j ) )
75	73, 74	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( j - -u j ) = ( 2 x. j ) )
76	67, 71, 75	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( -u j [,) j ) ) = ( 2 x. j ) )
78	65, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( 2 x. j ) )
79	78	prodeq2dv 14653	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( 2 x. j ) )
80	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
81		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. CC )
82	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. CC )
83	81, 82	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. CC )
84		fprodconst 14708	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. Fin /\ ( 2 x. j ) e. CC ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
85	80, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( 2 x. j ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
86	79, 85	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
87	86	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
89	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN e. _V )
90	68	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- NN C_ RR+
91		ioorp 12251	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
92	91	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
93	90, 92	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9 |- NN C_ ( 0 (,) +oo )
94		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 |- ( 0 (,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
95	93, 94	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- NN C_ ( 0 [,] +oo )
96		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 2 e. NN )
98	97, 36	nnmulcld 11068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( 2 x. j ) e. NN )
99		hashcl 13147	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. Fin -> ( # ` X ) e. NN0 )
100	11, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` X ) e. NN0 )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( # ` X ) e. NN0 )
102		nnexpcl 12873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. j ) e. NN /\ ( # ` X ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
103	98, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. NN )
104	95, 103	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
105		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) = ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
106	104, 105	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
107	89, 106	sge0xrcl 40602	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) e. RR* )
108		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
109	108	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo e. RR* )
110		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
111	95, 110	sselii 3600	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0 [,] +oo )
112	111	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
113		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN |-> 1 ) = ( j e. NN |-> 1 )
114	112, 113	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( j e. NN |-> 1 ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
115	89, 114	sge0xrcl 40602	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) e. RR* )
116		nnnfi 12765	. . . . . . . . . 10 |- -. NN e. Fin
117	116	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. NN e. Fin )
118		1rp 11836	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
120	89, 117, 119	sge0rpcpnf 40638	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) = +oo )
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
122	109, 121	xreqled 39546	. . . . . 6 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) )
123		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j ph
124	114	mptex2 6384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 e. ( 0 [,] +oo ) )
125	103	nnge1d 11063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> 1 <_ ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) )
126	123, 89, 124, 104, 125	sge0lempt 40627	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> 1 ) ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
127	109, 115, 107, 122, 126	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ph -> +oo <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) )
128	107, 127	xrgepnfd 39547	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( 2 x. j ) ^ ( # ` X ) ) ) ) = +oo )
129		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> +oo = +oo )
130	88, 128, 129	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
131	35, 130	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
132		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j i
133		nfmpt1 4747	. . . . . . 7 |- F/_ j ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
134	132, 133	nfeq 2776	. . . . . 6 |- F/ j i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
135		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k i
136		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k NN
137		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k ( k e. X |-> <. -u j , j >. )
138	136, 137	nfmpt 4746	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
139	135, 138	nfeq 2776	. . . . . . . 8 |- F/ k i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) )
140		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( i ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) )
141	140	coeq2d 5284	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) )
142	141	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
143	142	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
144	139, 143	ixpeq2d 39237	. . . . . . 7 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
145	144	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
146	134, 145	iuneq2df 39212	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
147	146	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
148	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
149	148	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
150	139, 149	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
151	150	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
152	151	prodeq2d 14652	. . . . . . 7 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
153	134, 152	mpteq2da 4743	. . . . . 6 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
155	154	eqeq2d 2632	. . . 4 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
156	147, 155	anbi12d 747	. . 3 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) -> ( ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
157	156	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. -u j , j >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
158	21, 131, 157	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( Y C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ +oo = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   #chash 13117   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  ovnpnfelsup  40773