Theorem smflimsuplem2 41027

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem2.p	|- F/ m ph
smflimsuplem2.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem2.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem2.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem2.e	|- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem2.h	|- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
smflimsuplem2.n	|- ( ph -> n e. Z )
smflimsuplem2.r	|- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
smflimsuplem2.x	|- ( ph -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem2	|- ( ph -> X e. dom ( H ` n ) )

Distinct variable groups:   x, F   m, M   m, X   m, Z, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   S( x, m, n)   E( x, m, n)   F( m, n)   H( x, m, n)   M( x, n)   X( x, n)

Proof of Theorem smflimsuplem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem2.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
2		smflimsuplem2.p	. . . . . 6 |- F/ m ph
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
4		smflimsuplem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> n e. Z )
5		smflimsuplem2.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
7		uzss 11708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
9	8, 5	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
11		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` n ) )
12	10, 11	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
13		smflimsuplem2.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. SAlg )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> S e. SAlg )
15		smflimsuplem2.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
18	14, 16, 17	smff 40941	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
19	12, 18	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
20		iinss2 4572	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ dom ( F ` m ) )
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ dom ( F ` m ) )
22	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> X e. dom ( F ` m ) )
24	19, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. RR )
25		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
26		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ m ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
27		eluzelz 11697	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
28	6, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> n e. ZZ )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
30	2, 24, 29	fmptdf 6387	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) : ( ZZ>= ` n ) --> RR )
31	30	ffnd 6046	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) Fn ( ZZ>= ` n ) )
32		smflimsuplem2.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ZZ )
33		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( ZZ>= ` M )
34		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
35	33, 2, 34	mptfnd 39451	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) Fn ( ZZ>= ` M ) )
36	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
37		fvexd 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( F ` m ) ` X ) e. _V )
38	36, 37	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
39	12, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. ( ZZ>= ` M ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
41	40	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( F ` m ) ` X ) e. _V ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
42	39, 37, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
43	38, 42	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` m ) = ( ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ` m ) )
44	2, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 28, 43	limsupequz 39955	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
45	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` M ) = Z
46	45	mpteq1i 4739	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) )
47	46	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
48	47	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` M ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
49	44, 48	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) )
50		smflimsuplem2.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) e. RR )
51	50	renepnfd 10090	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) =/= +oo )
52	49, 51	eqnetrd 2861	. . . . . 6 |- ( ph -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) ) =/= +oo )
53	2, 3, 24, 52	limsupubuzmpt 39951	. . . . 5 |- ( ph -> E. y e. RR A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) <_ y )
54		uzid 11702	. . . . . . 7 |- ( n e. ZZ -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
55		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
56	28, 54, 55	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
57	2, 56, 24	supxrre3rnmpt 39656	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR <-> E. y e. RR A. m e. ( ZZ>= ` n ) ( ( F ` m ) ` X ) <_ y ) )
58	53, 57	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR )
59	1, 58	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
61	60	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
62	61	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
63	62	supeq1d 8352	. . . . . . 7 |- ( x = y -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) )
64	63	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
65	64	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR }
66	65	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( X e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } <-> X e. { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR } )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = X -> ( ( F ` m ) ` y ) = ( ( F ` m ) ` X ) )
68	67	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( y = X -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
69	68	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) )
70	69	supeq1d 8352	. . . . . 6 |- ( y = X -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) )
71	70	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = X -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
72	71	elrab 3363	. . . 4 |- ( X e. { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR } <-> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
73	66, 72	bitri 264	. . 3 |- ( X e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } <-> ( X e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` X ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
74	59, 73	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> X e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
75		id 22	. . . . 5 |- ( ph -> ph )
76		smflimsuplem2.h	. . . . . . 7 |- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) ) )
78		smflimsuplem2.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
79		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Z
80		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
81	79, 80	nfmpt 4746	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
82	78, 81	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 |- F/_ x E
83		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x n
84	82, 83	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( E ` n )
85		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( E ` n ) e. _V
86	84, 85	mptexf 39444	. . . . . . 7 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V )
88	77, 87	fvmpt2d 6293	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
89	75, 4, 88	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
90	89	dmeqd 5326	. . 3 |- ( ph -> dom ( H ` n ) = dom ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
91		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( E ` n )
92		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < )
93		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < )
94	84, 91, 92, 93, 63	cbvmptf 4748	. . . 4 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( y e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) )
95		xrltso 11974	. . . . . 6 |- < Or RR*
96	95	supex 8369	. . . . 5 |- sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. _V
97	96	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( E ` n ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. _V )
98	94, 97	dmmptd 6024	. . 3 |- ( ph -> dom ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( E ` n ) )
99		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
100		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( F ` m ) e. _V
101	100	dmex 7099	. . . . . . . 8 |- dom ( F ` m ) e. _V
102	101	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
104	56, 103	iinexd 39318	. . . . 5 |- ( ph -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
105	99, 104	rabexd 4814	. . . 4 |- ( ph -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
106	78	fvmpt2 6291	. . . 4 |- ( ( n e. Z /\ { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
107	4, 105, 106	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
108	90, 98, 107	3eqtrrd 2661	. 2 |- ( ph -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = dom ( H ` n ) )
109	74, 108	eleqtrd 2703	1 |- ( ph -> X e. dom ( H ` n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-limsup 14202  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  41032