Theorem smflimsuplem7 41032

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem7.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem7.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem7.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem7.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem7.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
smflimsuplem7.e	|- E = ( k e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem7.h	|- H = ( k e. Z |-> ( x e. ( E ` k ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem7	|- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )

Distinct variable groups:   x, k, E   k, F, m, n, x   k, H, m, n, x   m, M   k, Z, m, n, x   ph, k, m, n, x

Allowed substitution hints:   D( x, k, m, n)   S( x, k, m, n)   E( m, n)   M( x, k, n)

Proof of Theorem smflimsuplem7

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsuplem7.d	. . 3 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
3		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ph )
4		rabidim2 39284	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
6		rabidim1 3117	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
7		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
8	6, 7	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
10		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
11		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ m ph
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ m limsup
13		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
14	12, 13	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
15		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m RR
16	14, 15	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ m ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR
17	11, 16	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
18		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m n e. Z
19		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m x
20		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
21	19, 20	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
22	17, 18, 21	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m k e. ( ZZ>= ` n )
24	22, 23	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) )
25		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
26		smflimsuplem7.m	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. ZZ )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> M e. ZZ )
28		smflimsuplem7.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Z = ( ZZ>= ` M )
29		smflimsuplem7.s	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. SAlg )
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> S e. SAlg )
31		smflimsuplem7.f	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
32	25, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
33		smflimsuplem7.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E = ( k e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
34		smflimsuplem7.h	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H = ( k e. Z |-> ( x e. ( E ` k ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
35	28	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. Z )
36	35	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. Z )
37		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
38		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` n ) )
39		iinss1 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ZZ>= ` k ) C_ ( ZZ>= ` n ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( ZZ>= ` n ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) )
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
43	41, 42	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) )
44	43	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) )
45	24, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 44	smflimsuplem2 41027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. dom ( H ` k ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( H ` k ) )
47		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
48		eliin 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. _V -> ( x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( H ` k ) ) )
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` n ) x e. dom ( H ` k ) )
50	46, 49	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
51	50	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) ) )
52	10, 51	reximdai 3012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
54		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) <-> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
55	53, 54	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
56	3, 5, 9, 55	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
57	7	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
58	6, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
60		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ph
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n x
62		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR
63		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
64	62, 63	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
65	61, 64	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
66	60, 65	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
67		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~>
68		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
69		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ph )
70	69, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> M e. ZZ )
71	69, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> S e. SAlg )
72	69, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
73		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
74		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> n e. Z )
75		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
76	68, 22, 70, 28, 71, 72, 33, 34, 73, 74, 75	smflimsuplem6 41031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> )
77	76	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) )
78	5, 77	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) ) )
79	66, 67, 78	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
80	59, 79	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> )
81	56, 80	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
82		rabid 3116	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } <-> ( x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
83	81, 82	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) -> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
84	83	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } -> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) )
85		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k )
86	85	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
87	28	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
88	87	uzidd 39631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
90		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ n e. Z )
91		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- < Or RR*
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> < Or RR* )
93	92	supexd 8359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. ( E ` n ) ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. _V )
94		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
95	90, 93, 94	fnmptd 39434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) Fn ( E ` n ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> ( E ` k ) = ( E ` n ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = n -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` n ) )
98	97	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = n -> ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
99	98	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = n -> ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) )
100	99	supeq1d 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
101	96, 100	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( x e. ( E ` k ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
102		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E ` n ) e. _V
103	102	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. _V
104	101, 34, 103	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. Z -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) = ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
106	105	fneq1d 5981	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( H ` n ) Fn ( E ` n ) <-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) Fn ( E ` n ) ) )
107	95, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) Fn ( E ` n ) )
108	107	fndmd 39441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( H ` n ) = ( E ` n ) )
109	97	iineq1d 39267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = n -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
110	109	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) <-> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) )
111	100	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = n -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
112	110, 111	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) <-> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) ) )
113	112	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` k ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` k ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> n e. Z )
115		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` y ) )
116	115	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
117	116	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) )
118	117	supeq1d 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) )
119	118	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
120	119	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { y e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` y ) ) , RR* , < ) e. RR }
121		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
122	88, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
123		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F ` m ) e. _V
124	123	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom ( F ` m ) e. _V
125	124	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. Z -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
127	122, 126	iinexd 39318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
128	120, 127	rabexd 4814	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
129	33, 113, 114, 128	fvmptd3 39447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
131		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
133	130, 132	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
134	108, 133	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( H ` n ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( H ` k ) = ( H ` n ) )
136	135	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> dom ( H ` k ) = dom ( H ` n ) )
137	136	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> ( dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> dom ( H ` n ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) )
138	137	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` n ) /\ dom ( H ` n ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
139	89, 134, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> E. k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
140		iinss 4571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
142	141	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
143		ss2iun 4536	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) -> U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
145	86, 144	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) )
146	82	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
147	54	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) -> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) -> E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
150		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k )
151	67, 150	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> }
152	61, 151	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> }
153	60, 152	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
154	82	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> )
155		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ph
156		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) )
157		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k dom ~~>
158	156, 157	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~>
159	155, 158	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> )
160		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k n e. Z
161		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k x
162		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k )
163	161, 162	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k )
164	159, 160, 163	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
165	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> M e. ZZ )
166	165	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> M e. ZZ )
167	166	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> M e. ZZ )
168	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
169	168	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> S e. SAlg )
170	169	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> S e. SAlg )
171	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
172	171	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
173	172	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
174		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> n e. Z )
175		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) )
176		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> )
177	164, 167, 28, 170, 173, 33, 34, 174, 175, 176	smflimsuplem4 41029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) /\ n e. Z /\ x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
178	177	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) )
179	154, 178	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) )
180	153, 62, 179	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
181	149, 180	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
182	181	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
183	145, 182	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ A. x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
184		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 |- F/_ x { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> }
185		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ x U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m )
186	184, 185	ssrabf 39298	. . . . . . 7 |- ( { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } <-> ( { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ A. x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
187	183, 186	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } C_ { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
188	187	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } -> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } ) )
189	84, 188	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } <-> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) )
190	189	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ph -> A. x ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } <-> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) )
191		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ x { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
192	191, 184	dfcleqf 39255	. . 3 |- ( { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } <-> A. x ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } <-> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } ) )
193	190, 192	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )
194	2, 193	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ k e. ( ZZ>= ` n ) dom ( H ` k ) | ( k e. Z |-> ( ( H ` k ) ` x ) ) e. dom ~~> } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  41033