Theorem smflimsuplem3 41028

Description: The limit of the ( H ` n ) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsuplem3.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsuplem3.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsuplem3.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsuplem3.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimsuplem3.e	|- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
smflimsuplem3.h	|- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsuplem3	|- ( ph -> ( x e. { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   x, k   x, E   m, F, x   k, H, x   S, k, n   k, Z, n, x   m, Z, n   ph, k, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   S( x, m)   E( k, m, n)   F( k, n)   H( m, n)   M( x, k, m, n)

Proof of Theorem smflimsuplem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. 2 |- F/ n ph
2		nfv 1843	. 2 |- F/ x ph
3		nfv 1843	. 2 |- F/ k ph
4		smflimsuplem3.m	. 2 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		smflimsuplem3.z	. 2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6		fvex 6201	. . . 4 |- ( H ` n ) e. _V
7	6	dmex 7099	. . 3 |- dom ( H ` n ) e. _V
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( H ` n ) e. _V )
9		fvexd 6203	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. dom ( H ` n ) ) -> ( ( H ` n ) ` x ) e. _V )
10		smflimsuplem3.s	. 2 |- ( ph -> S e. SAlg )
11	10	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
12		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ n e. Z )
13		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( E ` n )
14		nfrab1 3122	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
15		smflimsuplem3.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E = ( n e. Z |-> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
18	5	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
20	18, 19	uzn0d 39652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) =/= (/) )
21		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` m ) e. _V
22	21	dmex 7099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom ( F ` m ) e. _V
23	22	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z -> A. m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
25	20, 24	iinexd 39318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) e. _V )
27	17, 26	rabexd 4814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } e. _V )
28	16, 27	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
29		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) = ( F ` m ) )
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) -> ( F ` m ) = ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` m ) = ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) )
32	31	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> dom ( F ` m ) = dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) )
33	32	iineq2dv 4543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) )
34	33	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) <-> x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ) )
35	30	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) )
36	35	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) )
37	36	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) )
38	37	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR <-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) )
41	34, 40	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) <-> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) /\ sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR ) ) )
42	41	rabbidva2 3186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
43	28, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E ` n ) = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } )
44	12, 13, 14, 43, 39	mpteq12df 4735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ m ( F |` ( ZZ>= ` n ) )
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( F |` ( ZZ>= ` n ) )
47	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ZZ )
48		smflimsuplem3.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
50	5	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
51	50	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
52		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
54	53, 5	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ZZ>= ` n ) C_ Z )
56	49, 55	fssresd 6071	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) : ( ZZ>= ` n ) --> (SMblFn ` S ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } = { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR }
58		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) )
59	45, 46, 47, 19, 11, 56, 57, 58	smfsupxr 41022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. { x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) | sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) e. RR } |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( F |` ( ZZ>= ` n ) ) ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
60	44, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
61		smflimsuplem3.h	. . . . . . . 8 |- H = ( n e. Z |-> ( x e. ( E ` n ) |-> sup ( ran ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) , RR* , < ) ) )
62	60, 61	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : Z --> (SMblFn ` S ) )
63	62	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) e. (SMblFn ` S ) )
64		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom ( H ` n ) = dom ( H ` n )
65	11, 63, 64	smff 40941	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) : dom ( H ` n ) --> RR )
66	65	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( H ` n ) = ( x e. dom ( H ` n ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) )
67	66	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. dom ( H ` n ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) = ( H ` n ) )
68	67, 63	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. dom ( H ` n ) |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
69		eqid 2622	. 2 |- { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> }
70		eqid 2622	. 2 |- ( x e. { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) ) )
71	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 68, 69, 70	smflimmpt 41016	1 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ k e. Z |^|_ n e. ( ZZ>= ` k ) dom ( H ` n ) | ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) e. dom ~~> } |-> ( ~~> ` ( n e. Z |-> ( ( H ` n ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  41033