Theorem smfpimgtxrmpt 40992

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimgtxrmpt.x	|- F/ x ph
smfpimgtxrmpt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfpimgtxrmpt.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
smfpimgtxrmpt.f	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
smfpimgtxrmpt.l	|- ( ph -> L e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
smfpimgtxrmpt	|- ( ph -> { x e. A | L < B } e. ( S ↾t A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, L

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   S( x)   V( x)

Proof of Theorem smfpimgtxrmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfmpt1 4747	. . . . . 6 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
2	1	nfdm 5367	. . . . 5 |- F/_ x dom ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y dom ( x e. A |-> B )
4		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y L < ( ( x e. A |-> B ) ` x )
5		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x L
6		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x <
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x y
8	1, 7	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` y )
9	5, 6, 8	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ x L < ( ( x e. A |-> B ) ` y )
10		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` y ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = y -> ( L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> L < ( ( x e. A |-> B ) ` y ) ) )
12	2, 3, 4, 9, 11	cbvrab 3198	. . . 4 |- { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } = { y e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` y ) }
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } = { y e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` y ) } )
14		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ( x e. A |-> B )
15		smfpimgtxrmpt.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. SAlg )
16		smfpimgtxrmpt.f	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
17		eqid 2622	. . . 4 |- dom ( x e. A |-> B ) = dom ( x e. A |-> B )
18		smfpimgtxrmpt.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. RR* )
19	14, 15, 16, 17, 18	smfpimgtxr 40988	. . 3 |- ( ph -> { y e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` y ) } e. ( S ↾t dom ( x e. A |-> B ) ) )
20	13, 19	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } e. ( S ↾t dom ( x e. A |-> B ) ) )
21		smfpimgtxrmpt.x	. . . . . 6 |- F/ x ph
22		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
23		smfpimgtxrmpt.b	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
24	21, 22, 23	dmmptdf 39417	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
25		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x A
26	2, 25	rabeqf 3190	. . . . 5 |- ( dom ( x e. A |-> B ) = A -> { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } = { x e. A | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } )
27	24, 26	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } = { x e. A | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } )
28	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
29	28, 23	fvmpt2d 6293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
30	29	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> L < B ) )
31	21, 30	rabbida 39274	. . . 4 |- ( ph -> { x e. A | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } = { x e. A | L < B } )
32		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> { x e. A | L < B } = { x e. A | L < B } )
33	27, 31, 32	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ph -> { x e. A | L < B } = { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } )
34	24	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> A = dom ( x e. A |-> B ) )
35	34	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( S ↾t A ) = ( S ↾t dom ( x e. A |-> B ) ) )
36	33, 35	eleq12d 2695	. 2 |- ( ph -> ( { x e. A | L < B } e. ( S ↾t A ) <-> { x e. dom ( x e. A |-> B ) | L < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) } e. ( S ↾t dom ( x e. A |-> B ) ) ) )
37	20, 36	mpbird 247	1 |- ( ph -> { x e. A | L < B } e. ( S ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-salg 40529  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfpimioompt  40993