Theorem suborng 29815

Description: Every subring of an ordered ring is also an ordered ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
suborng	|- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. oRing )

Proof of Theorem suborng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. 2 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. Ring )
2		ringgrp 18552	. . . 4 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Grp )
3	2	adantl 482	. . 3 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. Grp )
4		orngogrp 29801	. . . . 5 |- ( R e. oRing -> R e. oGrp )
5		isogrp 29702	. . . . . 6 |- ( R e. oGrp <-> ( R e. Grp /\ R e. oMnd ) )
6	5	simprbi 480	. . . . 5 |- ( R e. oGrp -> R e. oMnd )
7	4, 6	syl 17	. . . 4 |- ( R e. oRing -> R e. oMnd )
8		ringmnd 18556	. . . 4 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( R ↾s A ) e. Mnd )
9		submomnd 29710	. . . 4 |- ( ( R e. oMnd /\ ( R ↾s A ) e. Mnd ) -> ( R ↾s A ) e. oMnd )
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . 3 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. oMnd )
11		isogrp 29702	. . 3 |- ( ( R ↾s A ) e. oGrp <-> ( ( R ↾s A ) e. Grp /\ ( R ↾s A ) e. oMnd ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. oGrp )
13		simp-4l 806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> R e. oRing )
14		reldmress 15926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Rel dom ↾s
15	14	ovprc2 6685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A e. _V -> ( R ↾s A ) = (/) )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A e. _V -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) = ( Base ` (/) ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ -. A e. _V ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) = ( Base ` (/) ) )
18		base0 15912	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = ( Base ` (/) )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ -. A e. _V ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) = (/) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` ( R ↾s A ) ) = ( Base ` ( R ↾s A ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1r ` ( R ↾s A ) ) = ( 1r ` ( R ↾s A ) )
22	20, 21	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( 1r ` ( R ↾s A ) ) e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
23		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1r ` ( R ↾s A ) ) e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) =/= (/) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ↾s A ) e. Ring -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) =/= (/) )
25	24	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ -. A e. _V ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) =/= (/) )
26	25	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ -. A e. _V ) -> -. ( Base ` ( R ↾s A ) ) = (/) )
27	19, 26	condan 835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> A e. _V )
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R ↾s A ) = ( R ↾s A )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
30	28, 29	ressbas 15930	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( A i^i ( Base ` R ) ) = ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
31		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( A i^i ( Base ` R ) ) C_ ( Base ` R )
32	30, 31	syl6eqssr 3656	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) )
33	27, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) )
34	33	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) )
35		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
36	34, 35	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> a e. ( Base ` R ) )
37		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a )
38		orngring 29800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. oRing -> R e. Ring )
39		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. oRing -> R e. Grp )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> R e. Grp )
42	29	ressinbas 15936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. _V -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s ( A i^i ( Base ` R ) ) ) )
43	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. _V -> ( R ↾s ( A i^i ( Base ` R ) ) ) = ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) )
44	42, 43	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. _V -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) )
45	27, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) = ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) )
46	45, 3	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) e. Grp )
47	29	issubg 17594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Base ` ( R ↾s A ) ) e. (SubGrp ` R ) <-> ( R e. Grp /\ ( Base ` ( R ↾s A ) ) C_ ( Base ` R ) /\ ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) e. Grp ) )
48	41, 33, 46, 47	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( Base ` ( R ↾s A ) ) e. (SubGrp ` R ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) = ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
51	49, 50	subg0 17600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Base ` ( R ↾s A ) ) e. (SubGrp ` R ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) ) )
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) ) )
53	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) = ( 0g ` ( R ↾s ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( R ↾s A ) ) )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( R ↾s A ) ) )
56	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> A e. _V )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( le ` R ) = ( le ` R )
58	28, 57	ressle 16059	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( le ` R ) = ( le ` ( R ↾s A ) ) )
59	56, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> ( le ` R ) = ( le ` ( R ↾s A ) ) )
60		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> a = a )
61	55, 59, 60	breq123d 4667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( le ` R ) a <-> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( le ` R ) a <-> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a ) )
63	37, 62	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` R ) ( le ` R ) a )
64		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) )
65	34, 64	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> b e. ( Base ` R ) )
66		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b )
67		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> b = b )
68	55, 59, 67	breq123d 4667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( le ` R ) b <-> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( le ` R ) b <-> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) )
70	66, 69	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` R ) ( le ` R ) b )
71		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
72	29, 57, 50, 71	orngmul 29803	. . . . . . 7 |- ( ( R e. oRing /\ ( a e. ( Base ` R ) /\ ( 0g ` R ) ( le ` R ) a ) /\ ( b e. ( Base ` R ) /\ ( 0g ` R ) ( le ` R ) b ) ) -> ( 0g ` R ) ( le ` R ) ( a ( .r ` R ) b ) )
73	13, 36, 63, 65, 70, 72	syl122anc 1335	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` R ) ( le ` R ) ( a ( .r ` R ) b ) )
74	55	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` ( R ↾s A ) ) )
75	59	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( le ` R ) = ( le ` ( R ↾s A ) ) )
76	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> A e. _V )
77	28, 71	ressmulr 16006	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> ( .r ` R ) = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( .r ` R ) = ( .r ` ( R ↾s A ) ) )
79	78	oveqd 6667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( a ( .r ` R ) b ) = ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) )
80	74, 75, 79	breq123d 4667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( le ` R ) ( a ( .r ` R ) b ) <-> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) ) )
81	73, 80	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) )
82	81	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) -> ( ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) ) )
83	82	anasss 679	. . 3 |- ( ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) /\ ( a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) /\ b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ) ) -> ( ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) ) )
84	83	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> A. a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) A. b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ( ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) ) )
85		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` ( R ↾s A ) ) = ( 0g ` ( R ↾s A ) )
86		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` ( R ↾s A ) ) = ( .r ` ( R ↾s A ) )
87		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` ( R ↾s A ) ) = ( le ` ( R ↾s A ) )
88	20, 85, 86, 87	isorng 29799	. 2 |- ( ( R ↾s A ) e. oRing <-> ( ( R ↾s A ) e. Ring /\ ( R ↾s A ) e. oGrp /\ A. a e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) A. b e. ( Base ` ( R ↾s A ) ) ( ( ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) a /\ ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) b ) -> ( 0g ` ( R ↾s A ) ) ( le ` ( R ↾s A ) ) ( a ( .r ` ( R ↾s A ) ) b ) ) ) )
89	1, 12, 84, 88	syl3anbrc 1246	1 |- ( ( R e. oRing /\ ( R ↾s A ) e. Ring ) -> ( R ↾s A ) e. oRing )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   lecple 15948   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   1rcur 18501   Ringcrg 18547  oMndcomnd 29697  oGrpcogrp 29698  oRingcorng 29795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-ple 15961  df-0g 16102  df-poset 16946  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-orng 29797

This theorem is referenced by:  subofld  29816