Theorem psercn2 24177

Description: Since by pserulm 24176 the series converges uniformly, it is also continuous by ulmcn 24153. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
pserf.f	|- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
pserf.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
pserf.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
pserulm.h	|- H = ( i e. NN0 |-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
pserulm.m	|- ( ph -> M e. RR )
pserulm.l	|- ( ph -> M < R )
pserulm.y	|- ( ph -> S C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )

Assertion

Ref	Expression
psercn2	|- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   j, n, r, x, y, A   i, j, y, H   i, M, j, y   x, i, r   i, G, j, r, y   S, i, j, y   ph, i, j, y

Allowed substitution hints:   ph( x, n, r)   A( i)   R( x, y, i, j, n, r)   S( x, n, r)   F( x, y, i, j, n, r)   G( x, n)   H( x, n, r)   M( x, n, r)

Proof of Theorem psercn2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. 2 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		pserulm.y	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) )
4		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ dom abs
5		absf 14077	. . . . . . . . 9 |- abs : CC --> RR
6	5	fdmi 6052	. . . . . . . 8 |- dom abs = CC
7	4, 6	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- ( `' abs " ( 0 [,] M ) ) C_ CC
8	3, 7	syl6ss 3615	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ CC )
9	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> S C_ CC )
10	9	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) |` S ) = ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
11		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> y e. CC )
12		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... i ) -> k e. NN0 )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> k e. NN0 )
14		pserf.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
15	14	pserval2 24165	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) )
16	11, 13, 15	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( G ` y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) )
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
18	17, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
20		pserf.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> A : NN0 --> CC )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
24		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( y ^ k ) e. CC )
25	24	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( y ^ k ) e. CC )
26	23, 25	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) e. CC )
27	12, 26	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) e. CC )
28	16, 19, 27	fsumser 14461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ y e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... i ) ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) = ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) )
29	28	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... i ) ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) = ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
30		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
33		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( 0 ... i ) e. Fin )
34	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
35		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
36	21, 12, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
37	34, 34, 36	cnmptc 21465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( y e. CC |-> ( A ` k ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
38	12	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> k e. NN0 )
39	30	expcn 22675	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( y e. CC |-> ( y ^ k ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ k ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
41	30	mulcn 22670	. . . . . . . . . 10 |- x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> x. e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
43	34, 37, 40, 42	cnmpt12f 21469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... i ) ) -> ( y e. CC |-> ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
44	30, 32, 33, 43	fsumcn 22673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... i ) ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
45	30	cncfcn1 22713	. . . . . . 7 |- ( CC -cn-> CC ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
46	44, 45	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... i ) ( ( A ` k ) x. ( y ^ k ) ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
47	29, 46	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
48		rescncf 22700	. . . . 5 |- ( S C_ CC -> ( ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) |` S ) e. ( S -cn-> CC ) ) )
49	9, 47, 48	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( y e. CC |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) |` S ) e. ( S -cn-> CC ) )
50	10, 49	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) e. ( S -cn-> CC ) )
51		pserulm.h	. . 3 |- H = ( i e. NN0 |-> ( y e. S |-> ( seq 0 ( + , ( G ` y ) ) ` i ) ) )
52	50, 51	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> H : NN0 --> ( S -cn-> CC ) )
53		pserf.f	. . 3 |- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
54		pserf.r	. . 3 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
55		pserulm.m	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
56		pserulm.l	. . 3 |- ( ph -> M < R )
57	14, 53, 20, 54, 51, 55, 56, 3	pserulm 24176	. 2 |- ( ph -> H ( ~~> u ` S ) F )
58	1, 2, 52, 57	ulmcn 24153	1 |- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  psercn  24180