Theorem wspniunwspnon 26819

Description: The set of nonempty simple paths of fixed length is the double union of the simple paths of the fixed length between different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wspniunwspnon.v	|- V = (Vtx ` G )

Assertion

Ref	Expression
wspniunwspnon	|- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( N WSPathsN G ) = U_ x e. V U_ y e. ( V \ { x } ) ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) )

Distinct variable groups:   x, G, y   x, N, y   x, U, y   x, V, y

Proof of Theorem wspniunwspnon

Dummy variables p w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		wspniunwspnon.v	. . . . . 6 |- V = (Vtx ` G )
3	2	wspthsnwspthsnon 26811	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ G e. U ) -> ( w e. ( N WSPathsN G ) <-> E. x e. V E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
4	1, 3	sylan 488	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( w e. ( N WSPathsN G ) <-> E. x e. V E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
5		wspthsnonn0vne 26813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) =/= (/) ) -> x =/= y )
6	5	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) =/= (/) -> x =/= y ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) =/= (/) -> x =/= y ) )
8		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) -> ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) =/= (/) )
9	7, 8	impel 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ G e. U ) /\ w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) -> x =/= y )
10	9	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ G e. U ) /\ w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) -> y =/= x )
11	10	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) -> y =/= x ) )
12	11	pm4.71rd 667	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> ( y =/= x /\ w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) ) )
13	12	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. y e. V ( y =/= x /\ w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) ) )
14		rexdifsn 4323	. . . . . . 7 |- ( E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. y e. V ( y =/= x /\ w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
15	13, 14	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( E. x e. V E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
17		vex 3203	. . . . . 6 |- w e. _V
18		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( p = w -> ( p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
19	18	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( p = w -> ( E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( p = w -> ( E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) ) )
21	17, 20	elab 3350	. . . . 5 |- ( w e. { p | E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) } <-> E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) )
22	16, 21	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( E. x e. V E. y e. V w e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) <-> w e. { p | E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) } ) )
23	4, 22	bitrd 268	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( w e. ( N WSPathsN G ) <-> w e. { p | E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) } ) )
24	23	eqrdv 2620	. 2 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( N WSPathsN G ) = { p | E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) } )
25		dfiunv2 4556	. 2 |- U_ x e. V U_ y e. ( V \ { x } ) ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) = { p | E. x e. V E. y e. ( V \ { x } ) p e. ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) }
26	24, 25	syl6eqr 2674	1 |- ( ( N e. NN /\ G e. U ) -> ( N WSPathsN G ) = U_ x e. V U_ y e. ( V \ { x } ) ( x ( N WSPathsNOn G ) y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NNcn 11020   NN0cn0 11292  Vtxcvtx 25874   WSPathsN cwwspthsn 26720   WSPathsNOn cwwspthsnon 26721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wlks 26495  df-wlkson 26496  df-trls 26589  df-trlson 26590  df-pths 26612  df-spths 26613  df-spthson 26615  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723  df-wwlksnon 26724  df-wspthsn 26725  df-wspthsnon 26726

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  27196