Theorem mbfsup 23431

Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, B ( n , x ) is a function of both n and x, since it is an n-indexed sequence of functions on x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
mbfsup.2	|- G = ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
mbfsup.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
mbfsup.4	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbfsup.5	|- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
mbfsup.6	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. Z B <_ y )

Assertion

Ref	Expression
mbfsup	|- ( ph -> G e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, n, y, A   y, B   ph, n, x, y   n, Z, x, y

Allowed substitution hints:   B( x, n)   G( x, y, n)   M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup

Dummy variables m z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfsup.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
2	1	anassrs 680	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
3	2	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR )
4		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
5	3, 4	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR )
6		frn 6053	. . . . 5 |- ( ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR -> ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR )
8		mbfsup.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11		mbfsup.1	. . . . . . . . 9 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	10, 11	syl6eleqr 2712	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. Z )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. Z )
14	4, 3	dmmptd 6024	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom ( n e. Z |-> B ) = Z )
15	13, 14	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. dom ( n e. Z |-> B ) )
16		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( M e. dom ( n e. Z |-> B ) -> dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
18		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom ( n e. Z |-> B ) = (/) <-> ran ( n e. Z |-> B ) = (/) )
19	18	necon3bii 2846	. . . . 5 |- ( dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) <-> ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
20	17, 19	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
21		mbfsup.6	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. Z B <_ y )
22		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
24		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y ) )
25	24	ralrn 6362	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Z |-> B ) Fn Z -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y <-> A. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y ) )
26	23, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y <-> A. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y ) )
27		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> B ) ` m )
28		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <_
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n y
30	27, 28, 29	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y
31		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ m ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <_ y
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y <-> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <_ y ) )
34	30, 31, 33	cbvral 3167	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y <-> A. n e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <_ y )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
36	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Z /\ B e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
37	35, 3, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
38	37	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <_ y <-> B <_ y ) )
39	38	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. n e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <_ y <-> A. n e. Z B <_ y ) )
40	34, 39	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <_ y <-> A. n e. Z B <_ y ) )
41	26, 40	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y <-> A. n e. Z B <_ y ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. Z B <_ y ) )
43	21, 42	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y )
44		suprcl 10983	. . . 4 |- ( ( ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) e. RR )
45	7, 20, 43, 44	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) e. RR )
46		mbfsup.2	. . 3 |- G = ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
47	45, 46	fmptd 6385	. 2 |- ( ph -> G : A --> RR )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. A )
49		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- < Or RR
50	49	supex 8369	. . . . . . . . . . . . 13 |- sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) e. _V
51	46	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
52	48, 50, 51	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
53	52	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( t < ( G ` x ) <-> t < sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) )
54	7, 20, 43	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y ) )
55	54	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y ) )
56		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> t e. RR )
57		suprlub 10987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) z <_ y ) /\ t e. RR ) -> ( t < sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) <-> E. z e. ran ( n e. Z |-> B ) t < z ) )
58	55, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( t < sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) <-> E. z e. ran ( n e. Z |-> B ) t < z ) )
59	23	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
60		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) -> ( t < z <-> t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
61	60	rexrn 6361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Z |-> B ) Fn Z -> ( E. z e. ran ( n e. Z |-> B ) t < z <-> E. m e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
62	59, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. ran ( n e. Z |-> B ) t < z <-> E. m e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n t
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n <
65	63, 64, 27	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m )
66		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ m t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n )
67	32	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
68	65, 66, 67	cbvrex 3168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. m e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> E. n e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
69	4	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. Z -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = ( _I ` B ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
71	70	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. A -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( _I ` B ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( _I ` B ) )
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( _I ` B ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
74	69, 73	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <-> t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
76	75	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. n e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
77	76	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. n e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
78	68, 77	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. m e. Z t < ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
79	62, 78	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( E. z e. ran ( n e. Z |-> B ) t < z <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
80	53, 58, 79	3bitrd 294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ x e. A ) -> ( t < ( G ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
81	80	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. x e. A ( t < ( G ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
82		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( t < ( G ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
83		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x t
84		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <
85		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
86	46, 85	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x G
87		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x z
88	86, 87	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( G ` z )
89	83, 84, 88	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x t < ( G ` z )
90		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x Z
91		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` z )
92	83, 84, 91	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x t < ( ( x e. A |-> B ) ` z )
93	90, 92	nfrex 3007	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z )
94	89, 93	nfbi 1833	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( t < ( G ` z ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
96	95	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( t < ( G ` x ) <-> t < ( G ` z ) ) )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` z ) )
98	97	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
99	98	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
100	96, 99	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( t < ( G ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> ( t < ( G ` z ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
101	82, 94, 100	cbvral 3167	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( t < ( G ` x ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) <-> A. z e. A ( t < ( G ` z ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
102	81, 101	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. z e. A ( t < ( G ` z ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
103	102	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( t < ( G ` z ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
104		rexr 10085	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. RR -> t e. RR* )
105	104	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> t e. RR* )
106		elioopnf 12267	. . . . . . . . 9 |- ( t e. RR* -> ( ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> ( ( G ` z ) e. RR /\ t < ( G ` z ) ) ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> ( ( G ` z ) e. RR /\ t < ( G ` z ) ) ) )
108	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> G : A --> RR )
109	108	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( G ` z ) e. RR )
110	109	biantrurd 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( t < ( G ` z ) <-> ( ( G ` z ) e. RR /\ t < ( G ` z ) ) ) )
111	107, 110	bitr4d 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> t < ( G ` z ) ) )
112	105	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) /\ n e. Z ) -> t e. RR* )
113		elioopnf 12267	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. RR* -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR /\ t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR /\ t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
115	2, 70	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
116	115	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ z e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR )
117	116	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ z e. A ) -> ( t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR /\ t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
118	117	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ n e. Z ) -> ( t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR /\ t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
119	118	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) /\ n e. Z ) -> ( t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. RR /\ t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) ) )
120	114, 119	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
121	120	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> E. n e. Z t < ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) )
122	103, 111, 121	3bitr4d 300	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. RR ) /\ z e. A ) -> ( ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) <-> E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) )
123	122	pm5.32da 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( ( z e. A /\ ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
124		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : A --> RR -> G Fn A )
125	47, 124	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G Fn A )
126	125	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> G Fn A )
127		elpreima 6337	. . . . . 6 |- ( G Fn A -> ( z e. ( `' G " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
128	126, 127	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( z e. ( `' G " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( G ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
129		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( z e. U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> E. n e. Z z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) )
130		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A |-> B ) : A --> RR -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
131	115, 130	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
132		elpreima 6337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A -> ( z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
134	133	rexbidva 3049	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. n e. Z z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> E. n e. Z ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( E. n e. Z z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> E. n e. Z ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
136		r19.42v 3092	. . . . . . 7 |- ( E. n e. Z ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) )
137	135, 136	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( E. n e. Z z e. ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
138	129, 137	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( z e. U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) <-> ( z e. A /\ E. n e. Z ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. ( t (,) +oo ) ) ) )
139	123, 128, 138	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( z e. ( `' G " ( t (,) +oo ) ) <-> z e. U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) ) )
140	139	eqrdv 2620	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( `' G " ( t (,) +oo ) ) = U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) )
141		zex 11386	. . . . . . 7 |- ZZ e. _V
142		uzssz 11707	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
143		ssdomg 8001	. . . . . . 7 |- ( ZZ e. _V -> ( ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ -> ( ZZ>= ` M ) ~<_ ZZ ) )
144	141, 142, 143	mp2 9	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) ~<_ ZZ
145	11, 144	eqbrtri 4674	. . . . 5 |- Z ~<_ ZZ
146		znnen 14941	. . . . 5 |- ZZ ~~ NN
147		domentr 8015	. . . . 5 |- ( ( Z ~<_ ZZ /\ ZZ ~~ NN ) -> Z ~<_ NN )
148	145, 146, 147	mp2an 708	. . . 4 |- Z ~<_ NN
149		mbfsup.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
150		mbfima 23399	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. MblFn /\ ( x e. A |-> B ) : A --> RR ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
151	149, 115, 150	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
152	151	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
153	152	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> A. n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
154		iunmbl2 23325	. . . 4 |- ( ( Z ~<_ NN /\ A. n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol ) -> U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
155	148, 153, 154	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> U_ n e. Z ( `' ( x e. A |-> B ) " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
156	140, 155	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ph /\ t e. RR ) -> ( `' G " ( t (,) +oo ) ) e. dom vol )
157	47, 156	ismbf3d 23421	1 |- ( ph -> G e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   supcsup 8346   RRcr 9935   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfinf  23432  mbflimsup  23433