Theorem cncfioobd 40110

Description: A continuous function 𝐹 on an open interval (𝐴(,)𝐵) with a finite right limit 𝑅 in 𝐴 and a finite left limit 𝐿 in 𝐵 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
cncfioobd.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
cncfioobd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfioobd

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobd.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cncfioobd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		nfv 1843	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝜑
4		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))
5		cncfioobd.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
6		cncfioobd.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		cncfioobd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴))
8	3, 4, 1, 2, 5, 6, 7	cncfiooicc 40107	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
9		cniccbdd 23230	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
11		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
12		nfra1 2941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥
13	11, 12	nfan 1828	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
15		cncff 22696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
16	5, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
17		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) = dom 𝐹)
21	14, 20	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
22	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
26	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → dom 𝐹 = (𝐴(,)𝐵))
27	25, 26	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28	22, 23, 24, 4, 27	cncfioobdlem 40109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
29	21, 28	syldan 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
30	29	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑦) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦))
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
32	31	ad4ant14 1293	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)))
33		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
34		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
35		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36	34, 35	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37		rspa 2930	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
38	33, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
39	32, 38	eqbrtrd 4675	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
40	39	ex 450	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
41	13, 40	ralrimi 2957	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
42	41	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
43	42	reximdva 3017	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐴, 𝑅, if(𝑧 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑧))))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
44	10, 43	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178  abscabs 13974  –cn→ccncf 22679   lim_ℂ climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394