Theorem ioossicc 12259

Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossicc	⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Proof of Theorem ioossicc

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ioo 12179	. 2 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
2		df-icc 12182	. 2 ⊢ [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
3		xrltle 11982	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 → 𝐴 ≤ 𝑤))
4		xrltle 11982	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵 → 𝑤 ≤ 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	ixxssixx 12189	1 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)

Syntax hints:   ⊆ wss 3574  (class class class)co 6650   < clt 10074   ≤ cle 10075  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  ioodisj  12302  iccntr  22624  ivth2  23224  ivthle  23225  ivthle2  23226  ovolioo  23336  uniiccvol  23348  itgioo  23582  rollelem  23752  rolle  23753  cmvth  23754  dvlip  23756  dvlipcn  23757  dvlip2  23758  c1liplem1  23759  dvle  23770  dvivthlem1  23771  dvne0  23774  lhop1lem  23776  dvcnvrelem1  23780  dvfsumle  23784  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  dvfsumlem2  23790  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  ftc1lem5  23803  ftc1lem6  23804  ftc1  23805  ftc2  23807  itgparts  23810  itgsubstlem  23811  itgsubst  23812  reeff1olem  24200  efcvx  24203  tanord1  24283  logccv  24409  loglesqrt  24499  chordthm  24564  amgmlem  24716  lgamgulmlem2  24756  eliccioo  29639  xrge0mulc1cn  29987  omssubadd  30362  ftc2re  30676  fdvposlt  30677  fdvneggt  30678  fdvposle  30679  fdvnegge  30680  circlemeth  30718  logdivsqrle  30728  ivthALT  32330  itg2gt0cn  33465  ftc1cnnclem  33483  ftc1cnnc  33484  ftc2nc  33494  areacirc  33505  itgpowd  37800  lhe4.4ex1a  38528  chordthmALT  39169  iccnct  39768  limciccioolb  39853  limcicciooub  39869  icccncfext  40100  cncfiooicclem1  40106  cncfioobdlem  40109  cncfioobd  40110  itgsin0pilem1  40165  iblioosinexp  40168  itgsinexplem1  40169  itgsinexp  40170  ditgeqiooicc  40176  itgcoscmulx  40185  ibliooicc  40187  itgsincmulx  40190  itgsubsticclem  40191  itgioocnicc  40193  iblcncfioo  40194  itgsbtaddcnst  40198  dirkeritg  40319  fourierdlem20  40344  fourierdlem38  40362  fourierdlem39  40363  fourierdlem46  40369  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem69  40392  fourierdlem70  40393  fourierdlem72  40395  fourierdlem73  40396  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem80  40403  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem83  40406  fourierdlem84  40407  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem92  40415  fourierdlem93  40416  fourierdlem100  40423  fourierdlem101  40424  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem107  40430  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  etransclem18  40469  etransclem46  40497  hoicvrrex  40770