Theorem dv11cn 23764

Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dv11cn.x	⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d	⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
dv11cn.p	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
dv11cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dv11cn.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝑋)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
4		dv11cn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
5		ffn 6045	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑋⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝑋)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
7		dv11cn.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
8		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
11		inidm 3822	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
12	3, 6, 10, 10, 11	offn 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) Fn 𝑋)
13		0cn 10032	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6093	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
15	13, 14	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
16		subcl 10280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
18	17, 1, 4, 10, 10, 11	off 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺):𝑋⟶ℂ)
19	18	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
20		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
21		dv11cn.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23	20, 22	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
24		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
26		dv11cn.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27		dv11cn.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
28		blssm 22223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
30	7, 29	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
31	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
32	4	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
33	1	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
34	4	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
35	10, 31, 32, 33, 34	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
37		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
39		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
40	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
41		dvfcn 23672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
42		dv11cn.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
43	42	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
44	41, 43	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
45	44	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
46	40, 45	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
47		dv11cn.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
48	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
49	47, 45, 48	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
50	38, 31, 39, 46, 32, 39, 49	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
51	44	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
52	51	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
53	52	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
54		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
55	53, 54	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
56	36, 50, 55	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = (𝑋 × {0}))
57	56	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
58		snnzg 4308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
59		dmxp 5344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
60	13, 58, 59	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
61	57, 60	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = 𝑋)
62		eqimss2 3658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)))
64		0red 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
65	56	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
66		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
67	66	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
68	65, 67	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥) = 0)
69	68	abs00bd 14031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥)) = 0)
70		0le0 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
71	69, 70	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
72	30, 18, 26, 27, 7, 63, 64, 71	dvlipcn 23757	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
73	23, 72	syldan 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
74	35	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶))
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐶))
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
79		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) ∈ V
80	77, 78, 79	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
81	21, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
82	1, 21	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
83		dv11cn.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
84	82, 83	subeq0bd 10456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) = 0)
85	74, 81, 84	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = 0)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶) = 0)
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − 0))
88	19	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥))
89	87, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥))
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))
91	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
92	30, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
94	91, 93	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
95	94	abscld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℝ)
96	95	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
97	96	mul02d 10234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))) = 0)
98	73, 90, 97	3brtr3d 4684	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
99	19	absge0d 14183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))
100	19	abscld 14175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
101		0re 10040	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
102		letri3 10123	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))))
103	100, 101, 102	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)))))
104	98, 99, 103	mpbir2and 957	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥)) = 0)
105	19, 104	abs00d 14185	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = 0)
106	67	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
107	105, 106	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
108	12, 15, 107	eqfnfvd 6314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}))
109		ofsubeq0 11017	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
110	10, 1, 4, 109	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘𝑓 − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
111	108, 110	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075   − cmin 10266  abscabs 13974  ∞Metcxmt 19731  ballcbl 19733   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  logtayl  24406  binomcxplemnotnn0  38555