Theorem ftc1anclem3 33487

Description: Lemma for ftc1anc 33493- the absolute value of the sum of a simple function and i times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem3	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem ftc1anclem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 23443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
3		i1ff 23443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
5		absreim 14033	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
6	2, 4, 5	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
7	6	anandirs 874	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))))
8	2	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9	8	sqvald 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))
10	4	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	sqvald 13005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥)↑2) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
12	9, 11	oveqan12d 6669	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
13	12	anandirs 874	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2)) = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14	13	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (√‘(((𝐹‘𝑥)↑2) + ((𝐺‘𝑥)↑2))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
15	7, 14	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
16	15	mpteq2dva 4744	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
17		ax-icn 9995	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
18		mulcl 10020	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
19	17, 10, 18	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
20		addcl 10018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 19, 20	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
22	21	anandirs 874	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
23		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
25	2	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (i · (𝐺‘𝑥)) ∈ V)
27	1	feqmptd 6249	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
29	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
30	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
31		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ i))
33	3	feqmptd 6249	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑥)))
34	29, 30, 4, 32, 33	offval2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
35	34	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (i · (𝐺‘𝑥))))
36	24, 25, 26, 28, 35	offval2 6914	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
37		absf 14077	. . . . . 6 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
38	37	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
39	38	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑦)))
40		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))) → (abs‘𝑦) = (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥)))))
41	22, 36, 39, 40	fmptco 6396	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐹‘𝑥) + (i · (𝐺‘𝑥))))))
42	8, 8	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
43	10, 10	mulcld 10060	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
44		addcl 10018	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
45	42, 43, 44	syl2an 494	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
46	45	anandirs 874	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ ℂ)
47	42	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
48	43	adantll 750	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
49	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50	49, 2, 2, 27, 27	offval2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
51	50	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
52	29, 4, 4, 33, 33	offval2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
53	52	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
54	24, 47, 48, 51, 53	offval2 6914	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
55		sqrtf 14103	. . . . . 6 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √:ℂ⟶ℂ)
57	56	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → √ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑦)))
58		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) → (√‘𝑦) = (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))))
59	46, 54, 57, 58	fmptco 6396	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (√‘(((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) + ((𝐺‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))))
60	16, 41, 59	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) = (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))))
61		elrege0 12278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
62		resqrtcl 13994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
63	61, 62	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
64	63	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
65		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √:ℂ⟶ℂ)
66	65	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
67	55, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥))
68	67	reseq1i 5392	. . . . . 6 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞))
69		rge0ssre 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
70		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
71	69, 70	sstri 3612	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
72		resmpt 5449	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
74	68, 73	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
75	64, 74	fmptd 6385	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
76		ge0addcl 12284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
77	76	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
78		oveq12 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐹) → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹))
79	78	anidms 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹))
80	79	feq1d 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐹 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞)))
81		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧:ℝ⟶ℝ)
82	81	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑧‘𝑥) ∈ ℝ)
83	82, 82	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	82	msqge0d 10596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
85		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
86	83, 84, 85	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)) ∈ (0[,)+∞))
87		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥)))
88	86, 87	fmptd 6385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞))
89	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
90	81	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → 𝑧 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑧‘𝑥)))
91	89, 82, 82, 90, 90	offval2 6914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))))
92	91	feq1d 6030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑧‘𝑥) · (𝑧‘𝑥))):ℝ⟶(0[,)+∞)))
93	88, 92	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ dom ∫1 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞))
94	80, 93	vtoclga 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
95	94	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶(0[,)+∞))
96		oveq12 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 = 𝐺 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))
97	96	anidms 677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧 ∘𝑓 · 𝑧) = (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))
98	97	feq1d 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → ((𝑧 ∘𝑓 · 𝑧):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞)))
99	98, 93	vtoclga 3272	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
100	99	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
101		inidm 3822	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
102	77, 95, 100, 24, 24, 101	off 6912	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞))
103		fco2 6059	. . . 4 ⊢ (((√ ↾ (0[,)+∞)):(0[,)+∞)⟶ℝ ∧ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶(0[,)+∞)) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
104	75, 102, 103	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))):ℝ⟶ℝ)
105		rnco 5641	. . . 4 ⊢ ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
106		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (√:ℂ⟶ℂ → √ Fn ℂ)
107	55, 106	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ √ Fn ℂ
108		readdcl 10019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109	108	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
110		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
112	111, 1, 1, 49, 49, 101	off 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
114	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
115	114, 3, 3, 29, 29, 101	off 6912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺):ℝ⟶ℝ)
117	109, 113, 116, 24, 24, 101	off 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶ℝ)
118		frn 6053	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)):ℝ⟶ℝ → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℝ)
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℝ)
120	119, 70	syl6ss 3615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ)
121		fnssres 6004	. . . . . . 7 ⊢ ((√ Fn ℂ ∧ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ ℂ) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
122	107, 120, 121	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)))
123		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
124	123, 123	i1fmul 23463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
125	124	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
126		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → 𝐺 ∈ dom ∫1)
127	126, 126	i1fmul 23463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ dom ∫1 → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
128	127	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ dom ∫1)
129	125, 128	i1fadd 23462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1)
130		i1frn 23444	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
131	129, 130	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin)
132		fnfi 8238	. . . . . 6 ⊢ (((√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∧ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ Fin) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
133	122, 131, 132	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
134		rnfi 8249	. . . . 5 ⊢ ((√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
135	133, 134	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ↾ ran ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
136	105, 135	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ Fin)
137		cnvco 5308	. . . . . . 7 ⊢ ◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√)
138	137	imaeq1i 5463	. . . . . 6 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = ((◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥})
139		imaco 5640	. . . . . 6 ⊢ ((◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∘ ◡√) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
140	138, 139	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) = (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))
141		i1fima 23445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 → (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
142	129, 141	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})) ∈ dom vol)
143	140, 142	syl5eqel 2705	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
144	143	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥}) ∈ dom vol)
145	140	fveq2i 6194	. . . 4 ⊢ (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) = (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥})))
146		eldifsni 4320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
147		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
148	147	elsn 4192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 0 = 𝑥)
149		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 0)
150	148, 149	bitri 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 = 0)
151	150	necon3bbii 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 0 ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
152		sqrt0 13982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (√‘0) = 0
153	152	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 0 ∈ {𝑥})
154	151, 153	xchnxbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (√‘0) ∈ {𝑥} ↔ 𝑥 ≠ 0)
155	146, 154	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ (√‘0) ∈ {𝑥})
156	155	olcd 408	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
157		ianor 509	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
158		elpreima 6337	. . . . . . . 8 ⊢ (√ Fn ℂ → (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥})))
159	55, 106, 158	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ (√‘0) ∈ {𝑥}))
160	157, 159	xchnxbir 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}) ↔ (¬ 0 ∈ ℂ ∨ ¬ (√‘0) ∈ {𝑥}))
161	156, 160	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0}) → ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥}))
162		i1fima2 23446	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (◡√ “ {𝑥})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
163	129, 161, 162	syl2an 494	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺)) “ (◡√ “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
164	145, 163	syl5eqel 2705	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ (ran (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) “ {𝑥})) ∈ ℝ)
165	104, 136, 144, 164	i1fd 23448	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (√ ∘ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 + (𝐺 ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)
166	60, 165	eqeltrd 2701	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝐹 ∘𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   ≤ cle 10075  2c2 11070  [,)cico 12177  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  abscabs 13974  volcvol 23232  ∫₁citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389

This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  33491  ftc1anclem8  33492