Theorem idomodle 37774

Description: Limit on the number of 𝑁-th roots of unity in an integral domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
idomodle.g	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
idomodle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
idomodle.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
idomodle	⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝑥,𝑅

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem idomodle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idomodle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	rabex 4813	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V
5		hashxrcl 13148	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} ∈ V → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
6	4, 5	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ∈ ℝ*)
7		fvex 6201	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
8	7	rabex 4813	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V
9		hashxrcl 13148	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
10	8, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ∈ ℝ*)
11		nnre 11027	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 10089	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ*)
13	12	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ*)
14		isidom 19304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
15	14	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ CRing)
17		crngring 18558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ Ring)
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
20		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
21		idomodle.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
22	20, 21	unitgrp 18667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
23	19, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
24		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25		nnz 11399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
26	25	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
27		idomodle.o	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
28		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
30	1, 27, 28, 29	oddvds 17966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
31	23, 24, 26, 30	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
33	20, 32	unitsubm 18670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
34	19, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
35		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℕ0)
37	20, 21	unitgrpbas 18666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Base‘𝐺)
38	1, 37	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Unit‘𝑅)
39	24, 38	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅))
40		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
41	40, 21, 28	submmulg 17586	. . . . . . . 8 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
42	34, 36, 39, 41	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (𝑁(.g‘𝐺)𝑥))
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
44	20, 21, 43	unitgrpid 18669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
45	19, 44	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
46	42, 45	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅) ↔ (𝑁(.g‘𝐺)𝑥) = (0g‘𝐺)))
47	31, 46	bitr4d 271	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)))
48	47	rabbidva 3188	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
49	48	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) = (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
50		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
51	50, 38	unitss 18660	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
52		rabss2 3685	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
53	51, 52	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
54		ssdomg 8001	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ∈ V → ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ⊆ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
55	8, 53, 54	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)})
56		hashdomi 13169	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} ≼ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)} → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
57	55, 56	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
58	49, 57	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}))
59		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
60	50, 43	ringidcl 18568	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
61	18, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
62		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
63	50, 40	idomrootle 37773	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = (1r‘𝑅)}) ≤ 𝑁)
65	6, 10, 13, 58, 64	xrletrd 11993	1 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ 𝑁}) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {crab 2916  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ≼ cdom 7953  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  #chash 13117   ∥ cdvds 14983  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  0_gc0g 16100  SubMndcsubmnd 17334  Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  odcod 17944  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  Unitcui 18639  Domncdomn 19280  IDomncidom 19281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-domn 19284  df-idom 19285  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893

This theorem is referenced by:  idomsubgmo  37776