Theorem stoweidlem53 40270

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem53.1	⊢ Ⅎ𝑡𝑈
stoweidlem53.2	⊢ Ⅎ𝑡𝜑
stoweidlem53.3	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
stoweidlem53.4	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem53.5	⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
stoweidlem53.6	⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
stoweidlem53.7	⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
stoweidlem53.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
stoweidlem53.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
stoweidlem53.10	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.12	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
stoweidlem53.13	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
stoweidlem53.14	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
stoweidlem53.15	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
stoweidlem53.16	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem53	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡,𝑇   𝑓,𝑟,𝑞,𝑡,𝑇   𝑥,𝑓,𝑞,𝑡,𝑇   𝐴,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝑄,𝑓,𝑔,𝑞   𝑈,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑓,𝑍,𝑔,ℎ,𝑞,𝑡   𝜑,𝑓,𝑔,ℎ,𝑞   𝑤,𝑔,ℎ,𝑡,𝑇   𝑔,𝑊   ℎ,𝐽,𝑡,𝑤   𝑞,𝑝,𝑡,𝑇   𝐴,𝑝   𝑈,𝑝   𝑍,𝑝   𝐴,𝑟   𝑈,𝑟   𝜑,𝑟   𝑡,𝐾   𝑤,𝑄   𝑤,𝑈   𝜑,𝑤   𝑥,𝐴   𝑥,𝑄   𝑥,𝑈   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑝)   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑄(𝑡,ℎ,𝑟,𝑝)   𝑈(𝑡)   𝐽(𝑥,𝑓,𝑔,𝑟,𝑞,𝑝)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑓,𝑔,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑡,𝑓,ℎ,𝑟,𝑞,𝑝)   𝑍(𝑤,𝑟)

Proof of Theorem stoweidlem53

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem53.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝑈
2		stoweidlem53.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
3		stoweidlem53.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
4		stoweidlem53.4	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
5		stoweidlem53.5	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
6		stoweidlem53.6	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝐽
7		stoweidlem53.7	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝐽 Cn 𝐾)
8		stoweidlem53.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
9		stoweidlem53.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
10		stoweidlem53.10	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
11		stoweidlem53.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
12		stoweidlem53.12	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
13		stoweidlem53.13	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑟 ≠ 𝑡)) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑞‘𝑟) ≠ (𝑞‘𝑡))
14		stoweidlem53.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
15		stoweidlem53.16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	stoweidlem50 40267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
17		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ∈ Fin
18		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑢
19		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡(ℎ‘𝑍) = 0
20		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)
21	19, 20	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))
22		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑡𝐴
23	21, 22	nfrab 3123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
24	4, 23	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡𝑄
25		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
26	25	nfeq2 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
27	24, 26	nfrex 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
28		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝐽
29	27, 28	nfrab 3123	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
30	5, 29	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡𝑊
31	18, 30	nfss 3596	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑢 ⊆ 𝑊
32		nfcv 2764	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝑇
33	32, 1	nfdif 3731	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈)
34		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡∪ 𝑢
35	33, 34	nfss 3596	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
36	17, 31, 35	nf3an 1831	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
37	2, 36	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
38		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝜑
39		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ∈ Fin
40		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑢
41		nfrab1 3122	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
42	5, 41	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑊
43	40, 42	nfss 3596	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑢 ⊆ 𝑊
44		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
45	39, 43, 44	nf3an 1831	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
46	38, 45	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
47		nfv 1843	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ𝜑
48		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ∈ Fin
49		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑢
50		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}
51		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎℎ𝐽
52	50, 51	nfrab 3123	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎℎ{𝑤 ∈ 𝐽 ∣ ∃ℎ ∈ 𝑄 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}
53	5, 52	nfcxfr 2762	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎℎ𝑊
54	49, 53	nfss 3596	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ 𝑢 ⊆ 𝑊
55		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎℎ(𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢
56	48, 54, 55	nf3an 1831	. . . . 5 ⊢ Ⅎℎ(𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
57	47, 56	nfan 1828	. . . 4 ⊢ Ⅎℎ(𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢))
58		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}}) = (𝑤 ∈ 𝑢 ↦ {ℎ ∈ 𝑄 ∣ 𝑤 = {𝑡 ∈ 𝑇 ∣ 0 < (ℎ‘𝑡)}})
59		cmptop 21198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Comp → 𝐽 ∈ Top)
60	8, 59	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
61		retop 22565	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
62	3, 61	eqeltri 2697	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ Top
63		cnfex 39187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
64	60, 62, 63	sylancl 694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Cn 𝐾) ∈ V)
65	9, 7	syl6sseq 3651	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
66	64, 65	ssexd 4805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
67	66	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝐴 ∈ V)
68		simpr1 1067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ∈ Fin)
69		simpr2 1068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → 𝑢 ⊆ 𝑊)
70		simpr3 1069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)
71		stoweidlem53.15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
72	71	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → (𝑇 ∖ 𝑈) ≠ ∅)
73	37, 46, 57, 4, 5, 58, 67, 68, 69, 70, 72	stoweidlem35 40252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ Fin ∧ 𝑢 ⊆ 𝑊 ∧ (𝑇 ∖ 𝑈) ⊆ ∪ 𝑢)) → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
74	16, 73	exlimddv 1863	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
75		nfv 1843	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
76		nfv 1843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑚 ∈ ℕ
77		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
78		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑇 ∖ 𝑈)
79		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
80	78, 79	nfral 2945	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
81	77, 80	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
82	76, 81	nfan 1828	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
83	75, 82	nfan 1828	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
84		nfv 1843	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑚 ∈ ℕ
85		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑞
86		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(1...𝑚)
87	85, 86, 24	nff 6041	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄
88		nfra1 2941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)
89	87, 88	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
90	84, 89	nfan 1828	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))
91	2, 90	nfan 1828	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))))
92		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡))) = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑚) · Σ𝑦 ∈ (1...𝑚)((𝑞‘𝑦)‘𝑡)))
93		simprl 794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
94		simprrl 804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄)
95		simprrr 805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))
96	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝐴 ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
97	10	3adant1r 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) + (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
98	11	3adant1r 1319	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑓 ∈ 𝐴 ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑓‘𝑡) · (𝑔‘𝑡))) ∈ 𝐴)
99	12	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ 𝑥) ∈ 𝐴)
100		elssuni 4467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ ∪ 𝐽)
101	100, 6	syl6sseqr 3652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐽 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
102	14, 101	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑇)
103	102, 15	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
104	103	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → 𝑍 ∈ 𝑇)
105	83, 91, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 6, 96, 97, 98, 99, 104	stoweidlem44 40261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡)))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))
106	105	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
107	106	exlimdvv 1862	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑞(𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑞:(1...𝑚)⟶𝑄 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)∃𝑖 ∈ (1...𝑚)0 < ((𝑞‘𝑖)‘𝑡))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡))))
108	74, 107	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (𝑝‘𝑡) ∧ (𝑝‘𝑡) ≤ 1) ∧ (𝑝‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝑇 ∖ 𝑈)0 < (𝑝‘𝑡)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  Ⅎwnfc 2751   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℕcn 11020  (,)cioo 12175  ...cfz 12326  Σcsu 14416  topGenctg 16098  Topctop 20698   Cn ccn 21028  Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem55  40272