Theorem 2cshwcshw 13571

Description: If a word is a cyclically shifted word, and a second word is the result of cyclically shifting the same word, then the second word is the result of cyclically shifting the first word. (Contributed by AV, 11-May-2018.) (Revised by AV, 12-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshwcshw	|- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ X = ( Y cyclShift K ) /\ E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )

Distinct variable groups:   m, n, K   m, N, n   m, V, n   m, X, n   m, Y, n   m, Z, n

Proof of Theorem 2cshwcshw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difelfznle 12453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ m e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ m ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )
2	1	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( -. K <_ m -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( -. K <_ m -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
4	3	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ m -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( -. K <_ m -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
6	5	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. K <_ m -> ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) -> ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
8	7	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )
9		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> Y e. Word V )
10	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> Y e. Word V )
11		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> K e. ZZ )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
14		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( 0 <_ K /\ K <_ N ) ) )
15		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( m e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m + N ) e. ZZ )
16	15	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( m + N ) e. ZZ )
17		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
18	16, 17	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ )
19	18	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
20		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. ZZ )
21	19, 20	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
22	21	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
24	14, 23	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( m + N ) - K ) e. ZZ )
27		2cshw 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Y e. Word V /\ K e. ZZ /\ ( ( m + N ) - K ) e. ZZ ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) = ( Y cyclShift ( K + ( ( m + N ) - K ) ) ) )
28	10, 13, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) = ( Y cyclShift ( K + ( ( m + N ) - K ) ) ) )
29	17, 18	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ZZ -> ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
31	30, 20	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
32	31	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( 0 <_ K /\ K <_ N ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
34	14, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) )
36	35	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ )
37		cshwsublen 13542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Y e. Word V /\ ( K + ( ( m + N ) - K ) ) e. ZZ ) -> ( Y cyclShift ( K + ( ( m + N ) - K ) ) ) = ( Y cyclShift ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) ) )
38	10, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Y cyclShift ( K + ( ( m + N ) - K ) ) ) = ( Y cyclShift ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) ) )
39	28, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) = ( Y cyclShift ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) ) )
40		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. ( 0 ... N ) <-> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) )
41		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. NN0 -> m e. CC )
42		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
43		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
44	42, 43	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. CC /\ N e. CC ) )
45		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> K e. CC )
46		addcl 10018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( m e. CC /\ N e. CC ) -> ( m + N ) e. CC )
47	46	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( m + N ) e. CC )
48	45, 47	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( K + ( ( m + N ) - K ) ) = ( m + N ) )
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = ( ( m + N ) - N ) )
50		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( m e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( m + N ) - N ) = m )
51	50	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( m + N ) - N ) = m )
52	49, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. CC /\ ( K e. CC /\ N e. CC ) ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m )
53	41, 44, 52	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. NN0 /\ ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. NN0 -> ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
55		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. NN0 )
56	54, 55	syl11 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
57	56	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 /\ K <_ N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
58	40, 57	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
60		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` Y ) = N -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) )
61	60	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` Y ) = N -> ( ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m <-> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) )
62	61	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` Y ) = N -> ( ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m ) <-> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m ) <-> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m ) <-> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - N ) = m ) ) )
65	59, 64	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) = m )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Y cyclShift ( ( K + ( ( m + N ) - K ) ) - ( # ` Y ) ) ) = ( Y cyclShift m ) )
69	39, 68	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
71		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
73	70, 72	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
74	73	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) ) ) )
75	74	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) -> ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) ) ) )
76	75	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
77	76	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) <-> Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) )
78	77	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) )
79	78	impancom 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) -> Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) )
80	79	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( ( m + N ) - K ) -> ( X cyclShift n ) = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) )
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( ( m + N ) - K ) -> ( Z = ( X cyclShift n ) <-> Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) )
83	82	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) /\ Z = ( X cyclShift ( ( m + N ) - K ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
84	8, 80, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. m = 0 /\ -. K <_ m ) /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
85	84	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( -. m = 0 -> ( -. K <_ m -> ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) )
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = 0 -> ( Y cyclShift m ) = ( Y cyclShift 0 ) )
87	86	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = 0 -> ( Z = ( Y cyclShift m ) <-> Z = ( Y cyclShift 0 ) ) )
88		cshw0 13540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y e. Word V -> ( Y cyclShift 0 ) = Y )
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( Y cyclShift 0 ) = Y )
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( Z = ( Y cyclShift 0 ) <-> Z = Y ) )
91		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
93		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` Y ) = N -> ( ( # ` Y ) - K ) = ( N - K ) )
94	93	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` Y ) = N -> ( ( ( # ` Y ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
95	94	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( # ` Y ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
96	92, 95	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` Y ) - K ) e. ( 0 ... N ) )
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( ( # ` Y ) - K ) e. ( 0 ... N ) )
98		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) )
99		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> Y e. Word V )
100		2cshwid 13560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Y e. Word V /\ K e. ZZ ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) = Y )
101	99, 11, 100	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) = Y )
102	98, 101	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) = Y )
103	102	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> Y = ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) )
104		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( n = ( ( # ` Y ) - K ) -> ( X cyclShift n ) = ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) )
105	104	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = ( ( # ` Y ) - K ) -> ( Y = ( X cyclShift n ) <-> Y = ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) ) )
106	105	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( # ` Y ) - K ) e. ( 0 ... N ) /\ Y = ( X cyclShift ( ( # ` Y ) - K ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) )
107	97, 103, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ Z = Y ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) )
109		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Z = Y -> ( Z = ( X cyclShift n ) <-> Y = ( X cyclShift n ) ) )
110	109	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Z = Y -> ( E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ Z = Y ) -> ( E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) <-> E. n e. ( 0 ... N ) Y = ( X cyclShift n ) ) )
112	108, 111	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ Z = Y ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
113	112	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( Z = Y -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
114	113	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( Z = Y -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
115	90, 114	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( Z = ( Y cyclShift 0 ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
116	115	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( K e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( Z = ( Y cyclShift 0 ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
117	116	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( Z = ( Y cyclShift 0 ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) )
118	117	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Z = ( Y cyclShift 0 ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) )
119	118	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z = ( Y cyclShift 0 ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
120	87, 119	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = 0 -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
121	120	com24 95	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = 0 -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
122	121	com15 101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> ( m = 0 -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) ) )
123	122	imp41 619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( m = 0 -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
124	123	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( m = 0 -> ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
125		difelfzle 12452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ m e. ( 0 ... N ) /\ K <_ m ) -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) )
126	125	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ m -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
127	126	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ m -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) ) ) )
128	127	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ m -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( K <_ m -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) ) )
130	129	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K <_ m /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> ( m - K ) e. ( 0 ... N ) )
131	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> Y e. Word V )
132	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
133		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( m - K ) e. ZZ )
134	133	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. ZZ -> ( K e. ZZ -> ( m - K ) e. ZZ ) )
135	20, 11, 134	syl2imc 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
136	135	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( m - K ) e. ZZ ) )
137	136	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( m - K ) e. ZZ )
138		2cshw 13559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( Y e. Word V /\ K e. ZZ /\ ( m - K ) e. ZZ ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) = ( Y cyclShift ( K + ( m - K ) ) ) )
139	131, 132, 137, 138	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) = ( Y cyclShift ( K + ( m - K ) ) ) )
140		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
141	20	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> m e. CC )
142		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( K e. CC /\ m e. CC ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
143	140, 141, 142	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m e. ( 0 ... N ) /\ K e. ZZ ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
144	143	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K e. ZZ -> ( K + ( m - K ) ) = m ) )
145	11, 144	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( m - K ) ) = m ) )
146	145	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K + ( m - K ) ) = m ) )
147	146	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( K + ( m - K ) ) = m )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Y cyclShift ( K + ( m - K ) ) ) = ( Y cyclShift m ) )
149	139, 148	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) )
151		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( X cyclShift ( m - K ) ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) )
152	151	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( m - K ) ) <-> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) ) )
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( m - K ) ) <-> ( Y cyclShift m ) = ( ( Y cyclShift K ) cyclShift ( m - K ) ) ) )
154	150, 153	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Y cyclShift m ) = ( X cyclShift ( m - K ) ) )
155	154	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) <-> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) )
156	155	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ K <_ m ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) )
157	156	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( K <_ m -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) ) ) ) )
158	157	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( m e. ( 0 ... N ) -> ( K <_ m -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) ) ) ) )
159	158	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ m -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) ) )
160	159	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> ( K <_ m -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) ) )
161	160	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( K <_ m -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) )
162	161	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K <_ m /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) )
163		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - K ) -> ( X cyclShift n ) = ( X cyclShift ( m - K ) ) )
164	163	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - K ) -> ( Z = ( X cyclShift n ) <-> Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) )
165	164	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m - K ) e. ( 0 ... N ) /\ Z = ( X cyclShift ( m - K ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
166	130, 162, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K <_ m /\ ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
167	166	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( K <_ m -> ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
168	85, 124, 167	pm2.61ii 177	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) /\ Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) )
169	168	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) /\ m e. ( 0 ... N ) ) -> ( Z = ( Y cyclShift m ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
170	169	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) /\ X = ( Y cyclShift K ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
171	170	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) )
172	171	com23 86	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) )
173	172	ex 450	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
174	173	com24 95	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( X = ( Y cyclShift K ) -> ( E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) -> ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) ) ) )
175	174	3imp 1256	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ X = ( Y cyclShift K ) /\ E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) ) -> ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )
176	175	com12 32	1 |- ( ( Y e. Word V /\ ( # ` Y ) = N ) -> ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ X = ( Y cyclShift K ) /\ E. m e. ( 0 ... N ) Z = ( Y cyclShift m ) ) -> E. n e. ( 0 ... N ) Z = ( X cyclShift n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  eleclclwwlksnlem1  26938