Theorem 2lgslem3b1 25126

Description: Lemma 2 for 2lgslem3 25129. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	|- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3b1	|- ( ( P e. NN /\ ( P mod 8 ) = 3 ) -> ( N mod 2 ) = 1 )

Proof of Theorem 2lgslem3b1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 11299	. . . 4 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
2		8nn 11191	. . . . 5 |- 8 e. NN
3		nnrp 11842	. . . . 5 |- ( 8 e. NN -> 8 e. RR+ )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- 8 e. RR+
5		modmuladdnn0 12714	. . . 4 |- ( ( P e. NN0 /\ 8 e. RR+ ) -> ( ( P mod 8 ) = 3 -> E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) ) )
6	1, 4, 5	sylancl 694	. . 3 |- ( P e. NN -> ( ( P mod 8 ) = 3 -> E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) ) )
7		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
8		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> k e. CC )
9		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . 13 |- 8 e. CC
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> 8 e. CC )
11	8, 10	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( k x. 8 ) = ( 8 x. k ) )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( ( k x. 8 ) + 3 ) = ( ( 8 x. k ) + 3 ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) <-> P = ( ( 8 x. k ) + 3 ) ) )
15	14	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) ) -> P = ( ( 8 x. k ) + 3 ) )
16		2lgslem2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) - ( |_ ` ( P / 4 ) ) )
17	16	2lgslem3b 25122	. . . . . . 7 |- ( ( k e. NN0 /\ P = ( ( 8 x. k ) + 3 ) ) -> N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
18	7, 15, 17	syl2an2r 876	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) ) -> N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) -> ( N mod 2 ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) mod 2 ) )
20		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
21		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
22		2tp1odd 15076	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
24		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> 2 e. ZZ )
26	25, 20	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( 2 x. k ) e. ZZ )
27	26	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ )
28		mod2eq1n2dvds 15071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) mod 2 ) = 1 <-> -. 2 || ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
30	23, 29	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) mod 2 ) = 1 )
31	19, 30	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( k e. NN0 /\ N = ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) -> ( N mod 2 ) = 1 )
32	7, 18, 31	syl2an2r 876	. . . . 5 |- ( ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) /\ P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) ) -> ( N mod 2 ) = 1 )
33	32	ex 450	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ k e. NN0 ) -> ( P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) -> ( N mod 2 ) = 1 ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( P e. NN -> ( E. k e. NN0 P = ( ( k x. 8 ) + 3 ) -> ( N mod 2 ) = 1 ) )
35	6, 34	syld 47	. 2 |- ( P e. NN -> ( ( P mod 8 ) = 3 -> ( N mod 2 ) = 1 ) )
36	35	imp 445	1 |- ( ( P e. NN /\ ( P mod 8 ) = 3 ) -> ( N mod 2 ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   |_cfl 12591   mod cmo 12668   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-mod 12669  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  2lgslem3  25129