Theorem 4sqlem15 15663

Description: Lemma for 4sq 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem15	|- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem15

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
4	3	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. RR )
5	4	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
6	5	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
7	6	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
8	7	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
9		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
10		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
11	9, 3, 10	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
12	11	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
13		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
15	14	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
16	15	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
17		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
18		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
19	17, 3, 18	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
20	19	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
21		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
23	22	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
25	8, 8, 16, 24	addsub4d 10439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
26	6	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
27	26	2halvesd 11278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
29	25, 28	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
30	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
31	5	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
32	31	2halvesd 11278	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
34	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. CC )
35	34	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
37		4sq.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> R = M )
39	37, 38	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = M )
40	39	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( M x. M ) )
41	15, 23	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
42		4sq.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. ZZ )
43		4sq.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
44	42, 3, 43	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G e. ZZ )
46		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
48	47	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
49		4sq.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. ZZ )
50		4sq.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
51	49, 3, 50	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
52	51	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H e. ZZ )
53		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
55	54	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
56	48, 55	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
57	41, 56	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
59	3	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M =/= 0 )
60	58, 34, 59	divcan1d 10802	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) x. M ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
62	36, 40, 61	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( M ^ 2 ) )
63	33, 62	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) )
64	41	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
65	56	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
66	26, 26, 64, 65	addsub4d 10439	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
68	31	subidd 10380	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
69	68	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) - ( M ^ 2 ) ) = 0 )
70	63, 67, 69	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 )
71	6, 41	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR )
72	9, 3, 10	4sqlem7 15648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
73	17, 3, 18	4sqlem7 15648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
74	15, 23, 7, 7, 72, 73	le2addd 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
75	74, 27	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
76	6, 41	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) <-> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
77	75, 76	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
78	6, 56	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
79	42, 3, 43	4sqlem7 15648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
80	49, 3, 50	4sqlem7 15648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
81	48, 55, 7, 7, 79, 80	le2addd 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
82	81, 27	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
83	6, 56	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
84	82, 83	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
85		add20 10540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) ) /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
86	71, 77, 78, 84, 85	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) ) )
87	86	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
88	70, 87	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 /\ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
89	88	simpld 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
90	30, 89	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 )
91	7, 15	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR )
92	7, 15	subge0d 10617	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) <-> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
93	72, 92	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
94	7, 23	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR )
95	7, 23	subge0d 10617	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) <-> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
96	73, 95	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
97		add20 10540	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
98	91, 93, 94, 96, 97	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
99	98	biimpa 501	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
100	90, 99	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
101	48	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
102	55	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
103	8, 8, 101, 102	addsub4d 10439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
104	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
105	103, 104	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
106	105	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
107	88	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
108	106, 107	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 )
109	7, 48	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR )
110	7, 48	subge0d 10617	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) <-> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
111	79, 110	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
112	7, 55	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR )
113	7, 55	subge0d 10617	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) <-> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
114	80, 113	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
115		add20 10540	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
116	109, 111, 112, 114, 115	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
117	116	biimpa 501	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
118	108, 117	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
119	100, 118	jca 554	1 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  4sqlem16  15664