Theorem 4sqlem16 15664

Description: Lemma for 4sq 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sq.1	|- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2	|- ( ph -> N e. NN )
4sq.3	|- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4	|- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5	|- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6	|- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7	|- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a	|- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b	|- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c	|- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d	|- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e	|- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f	|- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g	|- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h	|- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r	|- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p	|- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
4sqlem16	|- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)

Proof of Theorem 4sqlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. . 3 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2		4sq.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
3		4sq.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) -> M e. NN )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
6		4sq.e	. . . . . . . . . . . 12 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
7	2, 5, 6	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
8	7	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ZZ )
9		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
11	10	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR )
12		4sq.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ZZ )
13		4sq.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
14	12, 5, 13	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ZZ )
16		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
18	17	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. RR )
19	11, 18	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR )
20		4sq.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. ZZ )
21		4sq.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
22	20, 5, 21	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
23	22	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. ZZ )
24		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
26	25	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. RR )
27		4sq.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ZZ )
28		4sq.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
29	27, 5, 28	4sqlem5 15646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
30	29	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H e. ZZ )
31		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
33	32	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. RR )
34	26, 33	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR )
35	5	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. RR )
36	35	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. RR )
37	36	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
38	37	rehalfcld 11279	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. RR )
39	2, 5, 6	4sqlem7 15648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
40	12, 5, 13	4sqlem7 15648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
41	11, 18, 38, 38, 39, 40	le2addd 10646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
42	37	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
43	42	2halvesd 11278	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
44	41, 43	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
45	20, 5, 21	4sqlem7 15648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
46	27, 5, 28	4sqlem7 15648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) )
47	26, 33, 38, 38, 45, 46	le2addd 10646	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
48	47, 43	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) <_ ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
49	19, 34, 37, 37, 44, 48	le2addd 10646	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
50	36	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. CC )
51	50	2halvesd 11278	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) = ( M ^ 2 ) )
52	49, 51	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M ^ 2 ) )
53	35	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
54	53	sqvald 13005	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) = ( M x. M ) )
55	52, 54	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) )
56	19, 34	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
57	5	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < M )
58		ledivmul 10899	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ M e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
59	56, 35, 35, 57, 58	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <_ ( M x. M ) ) )
60	55, 59	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) <_ M )
61	1, 60	syl5eqbr 4688	. 2 |- ( ph -> R <_ M )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> R = 0 )
63	1, 62	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 )
64	56	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
65	5	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M =/= 0 )
66	64, 53, 65	diveq0ad 10811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 ) )
67		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
68	8, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
69		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
70	15, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
71	68, 70	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) )
73		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
74	23, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
75		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
76	30, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
77	74, 76	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
78	77	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) )
79		add20 10540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
80	19, 72, 34, 78, 79	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
81	66, 80	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 <-> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
82	81	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
83	63, 82	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
84	83	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 )
85	68	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( E ^ 2 ) )
86	70	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( F ^ 2 ) )
87		add20 10540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( E ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( E ^ 2 ) ) /\ ( ( F ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( F ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
88	11, 85, 18, 86, 87	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) ) )
89	88	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
90	84, 89	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( E ^ 2 ) = 0 /\ ( F ^ 2 ) = 0 ) )
91	90	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( E ^ 2 ) = 0 )
92	2, 5, 6, 91	4sqlem9 15650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) )
93	90	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( F ^ 2 ) = 0 )
94	12, 5, 13, 93	4sqlem9 15650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) )
95	5	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. NN )
96	95	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
97		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
99		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
100	12, 99	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
101		dvds2add 15015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
102	96, 98, 100, 101	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
104	92, 94, 103	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
105	83	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 )
106	74	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( G ^ 2 ) )
107	76	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( H ^ 2 ) )
108		add20 10540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( G ^ 2 ) ) /\ ( ( H ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( H ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
109	26, 106, 33, 107, 108	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) ) )
110	109	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
111	105, 110	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( G ^ 2 ) = 0 /\ ( H ^ 2 ) = 0 ) )
112	111	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( G ^ 2 ) = 0 )
113	20, 5, 21, 112	4sqlem9 15650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) )
114	111	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( H ^ 2 ) = 0 )
115	27, 5, 28, 114	4sqlem9 15650	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) )
116		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
117	20, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
118		zsqcl 12934	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
119	27, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
120		dvds2add 15015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( C ^ 2 ) e. ZZ /\ ( D ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
121	96, 117, 119, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) /\ ( M ^ 2 ) || ( D ^ 2 ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
123	113, 115, 122	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) )
124	98, 100	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
125	117, 119	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
126		dvds2add 15015	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
127	96, 124, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
128	127	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) ) )
129	104, 123, 128	mp2and 715	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = 0 ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
130		4sq.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
131		4sq.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
132		4sq.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
133		4sq.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. Prime )
134		4sq.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
135		4sq.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
136		4sq.7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- M = inf ( T , RR , < )
137		4sq.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
138	130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 3, 2, 12, 20, 27, 6, 13, 21, 28, 1, 137	4sqlem15 15663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) /\ ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) ) )
139	138	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 ) )
140	139	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 )
141	2, 5, 6, 140	4sqlem10 15651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
142	139	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( F ^ 2 ) ) = 0 )
143	12, 5, 13, 142	4sqlem10 15651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
144	96	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) e. ZZ )
145	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
146	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. CC )
147	10	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
148	146, 147	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( E ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) ) )
150	140, 149	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) = ( E ^ 2 ) )
151	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
152	150, 151	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) e. ZZ )
153	145, 152	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
154	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
155	154, 152	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
156		dvds2add 15015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) ) )
157	144, 153, 155, 156	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) ) )
158	141, 143, 157	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
159	98	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
160	100	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
161	159, 160, 146, 146	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
162	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
163	161, 162	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
165	158, 164	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
166	138	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 /\ ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 ) )
167	166	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( G ^ 2 ) ) = 0 )
168	20, 5, 21, 167	4sqlem10 15651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
169	166	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) - ( H ^ 2 ) ) = 0 )
170	27, 5, 28, 169	4sqlem10 15651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) )
171	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
172	171, 152	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
173	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
174	173, 152	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
175		dvds2add 15015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) ) )
176	144, 172, 174, 175	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) ) )
177	168, 170, 176	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
178	117	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
179	119	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
180	178, 179, 146, 146	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) )
181	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
182	180, 181	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
184	177, 183	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) )
185	124	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
186	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) = ( ( M ^ 2 ) / 2 ) )
187	152, 152	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) + ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
188	186, 187	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ )
189	185, 188	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
190	125	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
191	190, 188	zsubcld 11487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ )
192		dvds2add 15015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) )
193	144, 189, 191, 192	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) /\ ( M ^ 2 ) || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) ) )
194	165, 184, 193	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
195	124	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
196	125	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
197	195, 196, 42, 42	addsub4d 10439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
198	51	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( M ^ 2 ) / 2 ) + ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
199	197, 198	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
200	199	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( M ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
201	194, 200	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) )
202	124, 125	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
203	202	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
204		dvdssubr 15027	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
205	144, 203, 204	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) <-> ( M ^ 2 ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( M ^ 2 ) ) ) )
206	201, 205	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
207	129, 206	jaodan 826	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
208	137	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
209	207, 208	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ ( R = 0 \/ R = M ) ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) )
210	209	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) )
211	61, 210	jca 554	1 |- ( ph -> ( R <_ M /\ ( ( R = 0 \/ R = M ) -> ( M ^ 2 ) || ( M x. P ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  4sqlem17  15665