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Theorem 4sqlem14 15662
Description: Lemma for 4sq 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
4sq.2 |- ( ph -> N e. NN )
4sq.3 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
4sq.4 |- ( ph -> P e. Prime )
4sq.5 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
4sq.6 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
4sq.7 |- M = inf ( T , RR , < )
4sq.m |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
4sq.a |- ( ph -> A e. ZZ )
4sq.b |- ( ph -> B e. ZZ )
4sq.c |- ( ph -> C e. ZZ )
4sq.d |- ( ph -> D e. ZZ )
4sq.e |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.f |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.g |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.h |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
4sq.r |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
4sq.p |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 |- ( ph -> R e. NN0 )
Distinct variable groups:   w, n, x, y, z   B, n   n, E   n, G   n, H   A, n   C, n   D, n   n, F   i, n, M   n, N   P, i, n   ph, n   S, i, n   R, i
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w, i)   A( x, y, z, w, i)   B( x, y, z, w, i)   C( x, y, z, w, i)   D( x, y, z, w, i)   P( x, y, z, w)   R( x, y, z, w, n)   S( x, y, z, w)   T( x, y, z, w, i, n)   E( x, y, z, w, i)   F( x, y, z, w, i)   G( x, y, z, w, i)   H( x, y, z, w, i)   M( x, y, z, w)   N( x, y, z, w, i)
Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 |- R = ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M )
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10 |- T = { i e. NN | ( i x. P ) e. S }
3 ssrab2 3687 . . . . . . . . . 10 |- { i e. NN | ( i x. P ) e. S } C_ NN
42, 3eqsstri 3635 . . . . . . . . 9 |- T C_ NN
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10 |- M = inf ( T , RR , < )
6 nnuz 11723 . . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
74, 6sseqtri 3637 . . . . . . . . . . 11 |- T C_ ( ZZ>= ` 1 )
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- S = { n | E. x e. ZZ E. y e. ZZ E. z e. ZZ E. w e. ZZ n = ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) + ( ( z ^ 2 ) + ( w ^ 2 ) ) ) }
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. NN )
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. Prime )
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 ... ( 2 x. N ) ) C_ S )
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 15661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( T =/= (/) /\ M < P ) )
1413simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T =/= (/) )
15 infssuzcl 11772 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ T =/= (/) ) -> inf ( T , RR , < ) e. T )
167, 14, 15sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( T , RR , < ) e. T )
175, 16syl5eqel 2705 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. T )
184, 17sseldi 3601 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN )
1918nnzd 11481 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
20 prmz 15389 . . . . . . . 8 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
2111, 20syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. ZZ )
22 dvdsmul1 15003 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> M || ( M x. P ) )
2319, 21, 22syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( M x. P ) )
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ZZ )
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11 |- E = ( ( ( A + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
2624, 18, 254sqlem8 15649 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) )
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11 |- F = ( ( ( B + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
2927, 18, 284sqlem8 15649 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) )
30 zsqcl 12934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
3224, 18, 254sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E e. ZZ /\ ( ( A - E ) / M ) e. ZZ ) )
3332simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> E e. ZZ )
34 zsqcl2 12941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ZZ -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. NN0 )
3635nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. ZZ )
3731, 36zsubcld 11487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ )
38 zsqcl 12934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
3927, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
4027, 18, 284sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F e. ZZ /\ ( ( B - F ) / M ) e. ZZ ) )
4140simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. ZZ )
42 zsqcl2 12941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. ZZ -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
4443nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
4539, 44zsubcld 11487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
46 dvds2add 15015 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4719, 37, 45, 46syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) /\ M || ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) ) )
4826, 29, 47mp2and 715 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
4924zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
5049sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
5127zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
5251sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
5333zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. CC )
5453sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
5541zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. CC )
5655sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
5750, 52, 54, 56addsub4d 10439 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - ( E ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) - ( F ^ 2 ) ) ) )
5848, 57breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) )
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11 |- G = ( ( ( C + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
6159, 18, 604sqlem8 15649 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) )
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. ZZ )
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11 |- H = ( ( ( D + ( M / 2 ) ) mod M ) - ( M / 2 ) )
6462, 18, 634sqlem8 15649 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) )
65 zsqcl 12934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. ZZ -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. ZZ )
6759, 18, 604sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G e. ZZ /\ ( ( C - G ) / M ) e. ZZ ) )
6867simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. ZZ )
69 zsqcl2 12941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. ZZ -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. NN0 )
7170nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. ZZ )
7266, 71zsubcld 11487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ )
73 zsqcl 12934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ZZ -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7462, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. ZZ )
7562, 18, 634sqlem5 15646 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H e. ZZ /\ ( ( D - H ) / M ) e. ZZ ) )
7675simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H e. ZZ )
77 zsqcl2 12941 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. ZZ -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. NN0 )
7978nn0zd 11480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. ZZ )
8074, 79zsubcld 11487 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
81 dvds2add 15015 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8219, 72, 80, 81syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M || ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) /\ M || ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) ) )
8361, 64, 82mp2and 715 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
8459zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. CC )
8584sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. CC )
8662zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. CC )
8786sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. CC )
8868zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. CC )
8988sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) e. CC )
9076zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> H e. CC )
9190sqcld 13006 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( H ^ 2 ) e. CC )
9285, 87, 89, 91addsub4d 10439 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( C ^ 2 ) - ( G ^ 2 ) ) + ( ( D ^ 2 ) - ( H ^ 2 ) ) ) )
9383, 92breqtrrd 4681 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
9431, 39zaddcld 11486 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. ZZ )
9535, 43nn0addcld 11355 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. NN0 )
9695nn0zd 11480 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. ZZ )
9794, 96zsubcld 11487 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
9866, 74zaddcld 11486 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. ZZ )
9970, 78nn0addcld 11355 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. NN0 )
10099nn0zd 11480 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. ZZ )
10198, 100zsubcld 11487 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
102 dvds2add 15015 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
10319, 97, 101, 102syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M || ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) /\ M || ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
10458, 93, 103mp2and 715 . . . . . . 7 |- ( ph -> M || ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
105 4sq.p . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M x. P ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) )
106105oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
10750, 52addcld 10059 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) e. CC )
10885, 87addcld 10059 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) e. CC )
10954, 56addcld 10059 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) e. CC )
11089, 91addcld 10059 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) e. CC )
111107, 108, 109, 110addsub4d 10439 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) + ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
112106, 111eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) - ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C ^ 2 ) + ( D ^ 2 ) ) - ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
113104, 112breqtrrd 4681 . . . . . 6 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) )
11419, 21zmulcld 11488 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( M x. P ) e. ZZ )
11596, 100zaddcld 11486 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
116114, 115zsubcld 11487 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ )
117 dvds2sub 15016 . . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M x. P ) e. ZZ /\ ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11819, 114, 116, 117syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( M || ( M x. P ) /\ M || ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
11923, 113, 118mp2and 715 . . . . 5 |- ( ph -> M || ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) )
12018nncnd 11036 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. CC )
121 prmnn 15388 . . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
12211, 121syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. NN )
123122nncnd 11036 . . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
124120, 123mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ph -> ( M x. P ) e. CC )
125109, 110addcld 10059 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. CC )
126124, 125nncand 10397 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( M x. P ) - ( ( M x. P ) - ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
127119, 126breqtrd 4679 . . . 4 |- ( ph -> M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
12818nnne0d 11065 . . . . 5 |- ( ph -> M =/= 0 )
12995, 99nn0addcld 11355 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. NN0 )
130129nn0zd 11480 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ )
131 dvdsval2 14986 . . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 /\ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. ZZ ) -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
13219, 128, 130, 131syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ph -> ( M || ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) <-> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ ) )
133127, 132mpbid 222 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ )
134129nn0red 11352 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR )
135129nn0ge0d 11354 . . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) )
13618nnred 11035 . . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
13718nngt0d 11064 . . . 4 |- ( ph -> 0 < M )
138 divge0 10892 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) ) /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1327 . . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) )
140 elnn0z 11390 . . 3 |- ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 <-> ( ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) ) )
141133, 139, 140sylanbrc 698 . 2 |- ( ph -> ( ( ( ( E ^ 2 ) + ( F ^ 2 ) ) + ( ( G ^ 2 ) + ( H ^ 2 ) ) ) / M ) e. NN0 )
1421, 141syl5eqel 2705 1 |- ( ph -> R e. NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-gz 15634
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