MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou2b Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem aaliou2b 24096
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex A. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b |- ( A e. AA -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
Distinct variable group:   A, k, x, p, q
Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3796 . . 3 |- ( A e. ( AA i^i RR ) <-> ( A e. AA /\ A e. RR ) )
2 aaliou2 24095 . . 3 |- ( A e. ( AA i^i RR ) -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
31, 2sylbir 225 . 2 |- ( ( A e. AA /\ A e. RR ) -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
4 1nn 11031 . . . 4 |- 1 e. NN
54a1i 11 . . 3 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> 1 e. NN )
6 aacn 24072 . . . . . . . 8 |- ( A e. AA -> A e. CC )
76adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> A e. CC )
87imcld 13935 . . . . . 6 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> ( Im ` A ) e. RR )
98recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> ( Im ` A ) e. CC )
10 reim0b 13859 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
116, 10syl 17 . . . . . . 7 |- ( A e. AA -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )
1211necon3bbid 2831 . . . . . 6 |- ( A e. AA -> ( -. A e. RR <-> ( Im ` A ) =/= 0 ) )
1312biimpa 501 . . . . 5 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> ( Im ` A ) =/= 0 )
149, 13absrpcld 14187 . . . 4 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR+ )
1514rphalfcld 11884 . . 3 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR+ )
1615adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR+ )
17 1nn0 11308 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
18 nnexpcl 12873 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ 1 e. NN0 ) -> ( q ^ 1 ) e. NN )
1917, 18mpan2 707 . . . . . . . . . 10 |- ( q e. NN -> ( q ^ 1 ) e. NN )
2019ad2antll 765 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ 1 ) e. NN )
2120nnrpd 11870 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ 1 ) e. RR+ )
2216, 21rpdivcld 11889 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) e. RR+ )
2322rpred 11872 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) e. RR )
2416rpred 11872 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR )
257adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. CC )
26 znq 11792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
2726adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. QQ )
28 qre 11793 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
3029recnd 10068 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. CC )
3125, 30subcld 10392 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
3231abscld 14175 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
3320nnge1d 11063 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ 1 ) )
34 1rp 11836 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR+
35 rpregt0 11846 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
3634, 35mp1i 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
3721rpregt0d 11878 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( q ^ 1 ) e. RR /\ 0 < ( q ^ 1 ) ) )
3816rpregt0d 11878 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) ) )
39 lediv2 10913 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( q ^ 1 ) e. RR /\ 0 < ( q ^ 1 ) ) /\ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) ) ) -> ( 1 <_ ( q ^ 1 ) <-> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) <_ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / 1 ) ) )
4036, 37, 38, 39syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( 1 <_ ( q ^ 1 ) <-> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) <_ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / 1 ) ) )
4133, 40mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) <_ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / 1 ) )
4216rpcnd 11874 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. CC )
4342div1d 10793 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / 1 ) = ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) )
4441, 43breqtrd 4679 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) )
4514adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR+ )
4645rpred 11872 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR )
47 rphalflt 11860 . . . . . . . 8 |- ( ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR+ -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) < ( abs ` ( Im ` A ) ) )
4845, 47syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) < ( abs ` ( Im ` A ) ) )
4925, 30imsubd 13957 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( Im ` ( A - ( p / q ) ) ) = ( ( Im ` A ) - ( Im ` ( p / q ) ) ) )
5029reim0d 13965 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( Im ` ( p / q ) ) = 0 )
5150oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( Im ` A ) - ( Im ` ( p / q ) ) ) = ( ( Im ` A ) - 0 ) )
529adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( Im ` A ) e. CC )
5352subid1d 10381 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( Im ` A ) - 0 ) = ( Im ` A ) )
5449, 51, 533eqtrd 2660 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( Im ` ( A - ( p / q ) ) ) = ( Im ` A ) )
5554fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( A - ( p / q ) ) ) ) = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
56 absimle 14049 . . . . . . . . 9 |- ( ( A - ( p / q ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
5731, 56syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
5855, 57eqbrtrrd 4677 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
5924, 46, 32, 48, 58ltletrd 10197 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
6023, 24, 32, 44, 59lelttrd 10195 . . . . 5 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
6160olcd 408 . . . 4 |- ( ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
6261ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
63 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( q ^ k ) = ( q ^ 1 ) )
6463oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( k = 1 -> ( x / ( q ^ k ) ) = ( x / ( q ^ 1 ) ) )
6564breq1d 4663 . . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <-> ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
6665orbi2d 738 . . . . 5 |- ( k = 1 -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
67662ralbidv 2989 . . . 4 |- ( k = 1 -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
68 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) -> ( x / ( q ^ 1 ) ) = ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) )
6968breq1d 4663 . . . . . 6 |- ( x = ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) -> ( ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) <-> ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
7069orbi2d 738 . . . . 5 |- ( x = ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
71702ralbidv 2989 . . . 4 |- ( x = ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) <-> A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
7267, 71rspc2ev 3324 . . 3 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) e. RR+ /\ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( ( ( abs ` ( Im ` A ) ) / 2 ) / ( q ^ 1 ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
735, 15, 62, 72syl3anc 1326 . 2 |- ( ( A e. AA /\ -. A e. RR ) -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
743, 73pm2.61dan 832 1 |- ( A e. AA -> E. k e. NN E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ k ) ) < ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   Imcim 13838   abscabs 13974   AAcaa 24069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-cpn 23633  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046  df-aa 24070
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24105
  Copyright terms: Public domain W3C validator