Theorem abscxpbnd 24494

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. CC )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
abscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 <_ ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
abscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem abscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1le1 10655	. . . . 5 |- 1 <_ 1
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> 1 <_ 1 )
3		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B = 0 ) -> ( A ^c B ) = ( 0 ^c 0 ) )
4	3	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( A ^c B ) = ( 0 ^c 0 ) )
5		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
6		cxp0 24416	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( 0 ^c 0 ) = 1 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( 0 ^c 0 ) = 1
8	4, 7	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( A ^c B ) = 1 )
9	8	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` 1 ) )
10		abs1 14037	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) = 1
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = 1 )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( B = 0 -> ( Re ` B ) = ( Re ` 0 ) )
13		re0 13892	. . . . . . . . 9 |- ( Re ` 0 ) = 0
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( B = 0 -> ( Re ` B ) = 0 )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( B = 0 -> ( M ^c ( Re ` B ) ) = ( M ^c 0 ) )
16		abscxpbnd.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. CC )
18	17	cxp0d 24451	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M ^c 0 ) = 1 )
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> ( M ^c 0 ) = 1 )
20	15, 19	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( M ^c ( Re ` B ) ) = 1 )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> B = 0 )
22	21	abs00bd 14031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` B ) = 0 )
23	22	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) = ( 0 x. pi ) )
24		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
25	24	mul02i 10225	. . . . . . . . 9 |- ( 0 x. pi ) = 0
26	23, 25	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) = 0 )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) = ( exp ` 0 ) )
28		ef0 14821	. . . . . . 7 |- ( exp ` 0 ) = 1
29	27, 28	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) = 1 )
30	20, 29	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
31		1t1e1 11175	. . . . 5 |- ( 1 x. 1 ) = 1
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) = 1 )
33	2, 11, 32	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B = 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
34		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> A = 0 )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( A ^c B ) = ( 0 ^c B ) )
36		abscxpbnd.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> B e. CC )
38		0cxp 24412	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ B =/= 0 ) -> ( 0 ^c B ) = 0 )
39	37, 38	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( 0 ^c B ) = 0 )
40	35, 39	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( A ^c B ) = 0 )
41	40	abs00bd 14031	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = 0 )
42		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. RR )
43		abscxpbnd.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
44	43	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
45	43	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
46		abscxpbnd.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
47	42, 44, 16, 45, 46	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ M )
48	36	recld 13934	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
49	16, 47, 48	recxpcld 24469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
51	36	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( abs ` B ) e. RR )
53		pire 24210	. . . . . . 7 |- pi e. RR
54		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
55	52, 53, 54	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
56	55	reefcld 14818	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
57	16, 47, 48	cxpge0d 24470	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
59	55	rpefcld 14835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR+ )
60	59	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> 0 <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
61	50, 56, 58, 60	mulge0d 10604	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
62	41, 61	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ( ph /\ A = 0 ) /\ B =/= 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
63	33, 62	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ A = 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
64	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> A e. CC )
65		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> A =/= 0 )
66	36	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> B e. CC )
67	64, 65, 66	cxpefd 24458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
68	67	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
69		logcl 24315	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
70	43, 69	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
71	66, 70	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
72		absef 14927	. . . . 5 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
74	66	recld 13934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` B ) e. RR )
75	70	recld 13934	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
76	74, 75	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
77	76	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
78	66	imcld 13935	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` B ) e. RR )
79	70	imcld 13935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
80	79	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
81	78, 80	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
82	81	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
83		efadd 14824	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
84	77, 82, 83	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
85	78, 79	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
86	85	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
87	77, 86	negsubd 10398	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
88	78	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` B ) e. CC )
89	79	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
90	88, 89	mulneg2d 10484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
92	66, 70	remuld 13958	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
93	87, 91, 92	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
94	93	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
95		relog 24343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
96	43, 95	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
99	44	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
100	99	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
101	43	abs00ad 14030	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) = 0 <-> A = 0 ) )
102	101	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) =/= 0 <-> A =/= 0 ) )
103	102	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) =/= 0 )
104	74	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` B ) e. CC )
105	100, 103, 104	cxpefd 24458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
106	98, 105	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
108	84, 94, 107	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
109	68, 73, 108	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
110	64	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
111	64	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
112	110, 111, 74	recxpcld 24469	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
113	81	reefcld 14818	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
114	112, 113	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
115	49	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
116	115, 113	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
117	51, 53, 54	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
118	117	reefcld 14818	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
119	118	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
120	115, 119	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
121	81	rpefcld 14835	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
122	121	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
123	16	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> M e. RR )
124		abscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( Re ` B ) )
125	124	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` B ) )
126	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) <_ M )
127	110, 111, 123, 74, 125, 126	cxple2ad 24471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
128	112, 115, 113, 122, 127	lemul1ad 10963	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
129	57	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
130	88	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
131	80	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
132	131	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
133	130, 132	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
134	117	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
135	81	leabsd 14153	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
136	88, 131	absmuld 14193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
137	135, 136	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
138	66	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` B ) e. RR )
139	138, 132	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
140	131	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
141		absimle 14049	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
142	66, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
143	130, 138, 132, 140, 142	lemul1ad 10963	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
144	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> pi e. RR )
145	66	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
146	89	absnegd 14188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
147		logimcl 24316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
148	43, 147	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
149	148	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
150	53	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u pi e. RR
151		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
152	150, 79, 151	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
153	149, 152	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
154	148	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
155		absle 14055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
156	79, 53, 155	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
157	153, 154, 156	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
158	146, 157	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
159	132, 144, 138, 145, 158	lemul2ad 10964	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
160	133, 139, 134, 143, 159	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
161	81, 133, 134, 137, 160	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
162		efle 14848	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
163	81, 134, 162	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
164	161, 163	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
165	113, 119, 115, 129, 164	lemul2ad 10964	. . . 4 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
166	114, 116, 120, 128, 165	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
167	109, 166	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
168	63, 167	pm2.61dane 2881	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   expce 14792   picpi 14797   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  o1cxp  24701