Theorem binomcxplemwb 38547

Description: Lemma for binomcxp 38556. The lemma in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxplem.c	|- ( ph -> C e. CC )
binomcxplem.k	|- ( ph -> K e. NN )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemwb	|- ( ph -> ( ( ( C - K ) x. ( CC𝑐 K ) ) + ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) ) = ( C x. ( CC𝑐 K ) ) )

Proof of Theorem binomcxplemwb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
2		binomcxplem.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN )
3	2	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. CC )
4	1, 3	npcand 10396	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C - K ) + K ) = C )
5	4	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) + K ) x. ( C FallFac K ) ) = ( C x. ( C FallFac K ) ) )
6	1, 3	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ph -> ( C - K ) e. CC )
7	2	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN0 )
8		fallfaccl 14747	. . . . . 6 |- ( ( C e. CC /\ K e. NN0 ) -> ( C FallFac K ) e. CC )
9	1, 7, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( C FallFac K ) e. CC )
10	6, 3, 9	adddird 10065	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) + K ) x. ( C FallFac K ) ) = ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) + ( K x. ( C FallFac K ) ) ) )
11	5, 10	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( C x. ( C FallFac K ) ) = ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) + ( K x. ( C FallFac K ) ) ) )
12	11	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( C x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) + ( K x. ( C FallFac K ) ) ) / ( ! ` K ) ) )
13	1, 7	bccval 38537	. . . 4 |- ( ph -> ( CC𝑐 K ) = ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) )
14	13	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( C x. ( CC𝑐 K ) ) = ( C x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) )
15		faccl 13070	. . . . . 6 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
16	15	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. CC )
17	7, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` K ) e. CC )
18		facne0 13073	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) =/= 0 )
19	7, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` K ) =/= 0 )
20	1, 9, 17, 19	divassd 10836	. . 3 |- ( ph -> ( ( C x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) = ( C x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) )
21	14, 20	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> ( C x. ( CC𝑐 K ) ) = ( ( C x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) )
22	6, 9, 17, 19	divassd 10836	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( C - K ) x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) )
23	22	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) + ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( C - K ) x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) + ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) ) )
24	6, 9	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) e. CC )
25	3, 9	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. ( C FallFac K ) ) e. CC )
26	24, 25, 17, 19	divdird 10839	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) + ( K x. ( C FallFac K ) ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) + ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) ) )
27	13	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C - K ) x. ( CC𝑐 K ) ) = ( ( C - K ) x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) )
28		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
29	2, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. NN0 )
30		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. NN )
31	30	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
32	29, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( K - 1 ) ) e. CC )
33		facne0 13073	. . . . . . 7 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( K - 1 ) ) =/= 0 )
34	29, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( K - 1 ) ) =/= 0 )
35	2	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ph -> K =/= 0 )
36	9, 32, 3, 34, 35	divcan5d 10827	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( K x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( C FallFac K ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
37		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
38	3, 37	npcand 10396	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( K - 1 ) + 1 ) = K )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` K ) )
40	38	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
41		facp1 13065	. . . . . . . . 9 |- ( ( K - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
42	29, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. ( ( K - 1 ) + 1 ) ) )
43	3, 32	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ! ` ( K - 1 ) ) x. K ) )
44	40, 42, 43	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( K x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
45	39, 44	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` K ) = ( K x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( K x. ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
47	3, 37	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. CC )
48	1, 47	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C - ( K - 1 ) ) e. CC )
49		fallfaccl 14747	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. CC /\ ( K - 1 ) e. NN0 ) -> ( C FallFac ( K - 1 ) ) e. CC )
50	1, 29, 49	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C FallFac ( K - 1 ) ) e. CC )
51	48, 50, 32, 34	divassd 10836	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( C FallFac ( K - 1 ) ) ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
52	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C FallFac ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( C FallFac K ) )
53		fallfacp1 14761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. CC /\ ( K - 1 ) e. NN0 ) -> ( C FallFac ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) x. ( C - ( K - 1 ) ) ) )
54	1, 29, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C FallFac ( ( K - 1 ) + 1 ) ) = ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) x. ( C - ( K - 1 ) ) ) )
55	52, 54	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C FallFac K ) = ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) x. ( C - ( K - 1 ) ) ) )
56	48, 50	mulcomd 10061	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( C FallFac ( K - 1 ) ) ) = ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) x. ( C - ( K - 1 ) ) ) )
57	55, 56	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C FallFac K ) = ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( C FallFac ( K - 1 ) ) ) )
58	57	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C FallFac K ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) = ( ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( C FallFac ( K - 1 ) ) ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
59	1, 29	bccval 38537	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) = ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) = ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( ( C FallFac ( K - 1 ) ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) ) )
61	51, 58, 60	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) = ( ( C FallFac K ) / ( ! ` ( K - 1 ) ) ) )
62	36, 46, 61	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ph -> ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) = ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) )
63	27, 62	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) x. ( CC𝑐 K ) ) + ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ( C - K ) x. ( ( C FallFac K ) / ( ! ` K ) ) ) + ( ( K x. ( C FallFac K ) ) / ( ! ` K ) ) ) )
64	23, 26, 63	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) x. ( CC𝑐 K ) ) + ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) ) = ( ( ( ( C - K ) x. ( C FallFac K ) ) + ( K x. ( C FallFac K ) ) ) / ( ! ` K ) ) )
65	12, 21, 64	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ph -> ( ( ( C - K ) x. ( CC𝑐 K ) ) + ( ( C - ( K - 1 ) ) x. ( CC𝑐 ( K - 1 ) ) ) ) = ( C x. ( CC𝑐 K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   !cfa 13060   FallFac cfallfac 14735  C_𝑐cbcc 38535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-fallfac 14738  df-bcc 38536

This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  38555