Theorem bitsinvp1 15171

Description: Recursive definition of the inverse of the bits function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
bitsinv.k	|- K = `' (bits |` NN0 )

Assertion

Ref	Expression
bitsinvp1	|- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinvp1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzonel 12483	. . . . . . 7 |- -. N e. ( 0..^ N )
2	1	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> -. N e. ( 0..^ N ) )
3		disjsn 4246	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. ( 0..^ N ) )
4	2, 3	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) = (/) )
5	4	ineq2d 3814	. . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) ) = ( A i^i (/) ) )
6		inindi 3830	. . . 4 |- ( A i^i ( ( 0..^ N ) i^i { N } ) ) = ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) i^i ( A i^i { N } ) )
7		in0 3968	. . . 4 |- ( A i^i (/) ) = (/)
8	5, 6, 7	3eqtr3g 2679	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) i^i ( A i^i { N } ) ) = (/) )
9		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
10		nn0uz 11722	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		fzosplitsn 12576	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( N + 1 ) ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( N + 1 ) ) = ( ( 0..^ N ) u. { N } ) )
14	13	ineq2d 3814	. . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ( 0..^ N ) u. { N } ) ) )
15		indi 3873	. . . 4 |- ( A i^i ( ( 0..^ N ) u. { N } ) ) = ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) u. ( A i^i { N } ) )
16	14, 15	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) u. ( A i^i { N } ) ) )
17		fzofi 12773	. . . . 5 |- ( 0..^ ( N + 1 ) ) e. Fin
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ ( N + 1 ) ) e. Fin )
19		inss2 3834	. . . 4 |- ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) )
20		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N + 1 ) ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. Fin )
21	18, 19, 20	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. Fin )
22		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
23	22	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> 2 e. NN )
24		inss1 3833	. . . . . . 7 |- ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ A
25		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> A C_ NN0 )
26	24, 25	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ NN0 )
27	26	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> k e. NN0 )
28	23, 27	nnexpcld 13030	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ k ) e. NN )
29	28	nncnd 11036	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
30	8, 16, 21, 29	fsumsplit 14471	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ( 2 ^ k ) = ( sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ k ) + sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) ) )
31		elfpw 8268	. . . 4 |- ( ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. Fin ) )
32	26, 21, 31	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
33		bitsinv.k	. . . 4 |- K = `' (bits |` NN0 )
34	33	bitsinv 15170	. . 3 |- ( ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ( 2 ^ k ) )
35	32, 34	syl 17	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ( 2 ^ k ) )
36		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ A
37	36, 25	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
38		fzofi 12773	. . . . . . 7 |- ( 0..^ N ) e. Fin
39	38	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
40		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
41		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
43		elfpw 8268	. . . . 5 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
44	37, 42, 43	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
45	33	bitsinv 15170	. . . 4 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) = sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ k ) )
46	44, 45	syl 17	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) = sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ k ) )
47		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( N e. A -> { N } C_ A )
48	47	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> { N } C_ A )
49		sseqin2 3817	. . . . . . 7 |- ( { N } C_ A <-> ( A i^i { N } ) = { N } )
50	48, 49	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> ( A i^i { N } ) = { N } )
51	50	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. { N } ( 2 ^ k ) )
52		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> N e. A )
53	22	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> 2 e. NN )
54		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> N e. NN0 )
55	53, 54	nnexpcld 13030	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. NN )
56	55	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
57		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ N ) )
58	57	sumsn 14475	. . . . . 6 |- ( ( N e. A /\ ( 2 ^ N ) e. CC ) -> sum_ k e. { N } ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ N ) )
59	52, 56, 58	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> sum_ k e. { N } ( 2 ^ k ) = ( 2 ^ N ) )
60	51, 59	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N e. A ) -> ( 2 ^ N ) = sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) )
61		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N e. A ) -> -. N e. A )
62		disjsn 4246	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i { N } ) = (/) <-> -. N e. A )
63	61, 62	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N e. A ) -> ( A i^i { N } ) = (/) )
64	63	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N e. A ) -> sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) = sum_ k e. (/) ( 2 ^ k ) )
65		sum0 14452	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) ( 2 ^ k ) = 0
66	64, 65	syl6req 2673	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. N e. A ) -> 0 = sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) )
67	60, 66	ifeqda 4121	. . 3 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) = sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) )
68	46, 67	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( sum_ k e. ( A i^i ( 0..^ N ) ) ( 2 ^ k ) + sum_ k e. ( A i^i { N } ) ( 2 ^ k ) ) )
69	30, 35, 68	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   `'ccnv 5113   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   sum_csu 14416  bitscbits 15141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144

This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15179  sadadd2lem  15181