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Theorem sadadd2lem 15181
Description: Lemma for sadadd2 15182. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a |- ( ph -> A C_ NN0 )
sadval.b |- ( ph -> B C_ NN0 )
sadval.c |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
sadcp1.n |- ( ph -> N e. NN0 )
sadcadd.k |- K = `' (bits |` NN0 )
sadadd2lem.1 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   m, c, n   A, c, m   B, c, m   n, N
Allowed substitution hints:   ph( m, n, c)   A( n)   B( n)   C( m, n, c)   K( m, n, c)   N( m, c)
Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3833 . . . . . . . . 9 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( A sadd B )
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ NN0 )
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B C_ NN0 )
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 |- C = seq 0 ( ( c e. 2o , m e. NN0 |-> if (cadd ( m e. A , m e. B , (/) e. c ) , 1o , (/) ) ) , ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , (/) , ( n - 1 ) ) ) )
52, 3, 4sadfval 15174 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A sadd B ) = { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } )
6 ssrab2 3687 . . . . . . . . . 10 |- { k e. NN0 | hadd ( k e. A , k e. B , (/) e. ( C ` k ) ) } C_ NN0
75, 6syl6eqss 3655 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A sadd B ) C_ NN0 )
81, 7syl5ss 3614 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
9 fzofi 12773 . . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ N ) e. Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0..^ N ) e. Fin )
11 inss2 3834 . . . . . . . . 9 |- ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
12 ssfi 8180 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
1310, 11, 12sylancl 694 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
14 elfpw 8268 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
158, 13, 14sylanbrc 698 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
16 bitsf1o 15167 . . . . . . . . . 10 |- (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin )
17 f1ocnv 6149 . . . . . . . . . 10 |- ( (bits |` NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0 i^i Fin ) -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
18 f1of 6137 . . . . . . . . . 10 |- ( `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) -1-1-onto-> NN0 -> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 |- `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 |- K = `' (bits |` NN0 )
2120feq1i 6036 . . . . . . . . 9 |- ( K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 <-> `' (bits |` NN0 ) : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0 )
2219, 21mpbir 221 . . . . . . . 8 |- K : ( ~P NN0 i^i Fin ) --> NN0
2322ffvelrni 6358 . . . . . . 7 |- ( ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
2415, 23syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
2524nn0cnd 11353 . . . . 5 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
26 2nn0 11309 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
2927, 28nn0expcld 13031 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
30 0nn0 11307 . . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
31 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
3229, 30, 31sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
3332nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
34 1nn0 11308 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
3628, 35nn0addcld 11355 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
3727, 36nn0expcld 13031 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 )
38 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. NN0 )
3937, 30, 38sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. NN0 )
4039nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) e. CC )
4133, 40addcld 10059 . . . . 5 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) e. CC )
4225, 41addcld 10059 . . . 4 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) e. CC )
43 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ A
4443, 2syl5ss 3614 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
45 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
46 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
4710, 45, 46sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
48 elfpw 8268 . . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
4944, 47, 48sylanbrc 698 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
5022ffvelrni 6358 . . . . . . . 8 |- ( ( A i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
5251nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
53 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ B
5453, 3syl5ss 3614 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 )
55 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N )
56 ssfi 8180 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ ( 0..^ N ) ) -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
5710, 55, 56sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin )
58 elfpw 8268 . . . . . . . . 9 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) <-> ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) C_ NN0 /\ ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. Fin ) )
5954, 57, 58sylanbrc 698 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) )
6022ffvelrni 6358 . . . . . . . 8 |- ( ( B i^i ( 0..^ N ) ) e. ( ~P NN0 i^i Fin ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. NN0 )
6261nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) e. CC )
6352, 62addcld 10059 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) e. CC )
64 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
6529, 30, 64sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
6665nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
67 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 0 e. NN0 ) -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
6829, 30, 67sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. NN0 )
6968nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
7066, 69addcld 10059 . . . . 5 |- ( ph -> ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) e. CC )
7163, 70addcld 10059 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) e. CC )
7229nn0cnd 11353 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
7372adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ (/) e. ( C ` N ) ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
74 0cnd 10033 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. (/) e. ( C ` N ) ) -> 0 e. CC )
7573, 74ifclda 4120 . . . 4 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) e. CC )
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) )
772, 3, 4, 28sadval 15178 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. ( A sadd B ) <-> hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
7877ifbid 4108 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) = if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) )
792, 3, 4, 28sadcp1 15177 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) <-> cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) ) )
8027nn0cnd 11353 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
8180, 28expp1d 13009 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8272, 80mulcomd 10061 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) )
8381, 82eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) )
8479, 83ifbieq1d 4109 . . . . . . . 8 |- ( ph -> if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) = if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) )
8578, 84oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) )
86 sadadd2lem2 15172 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ N ) e. CC -> ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if (hadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if (cadd ( N e. A , N e. B , (/) e. ( C ` N ) ) , ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
8885, 87eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
8976, 88oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
9025, 41, 75add32d 10263 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) )
9163, 70, 75addassd 10062 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
9289, 90, 913eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) = ( ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` N ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
9342, 71, 75, 92addcan2ad 10242 . . 3 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
9425, 33, 40addassd 10062 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) ) )
9552, 66, 62, 69add4d 10264 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) ) + ( if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
9693, 94, 953eqtr4d 2666 . 2 |- ( ph -> ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
9720bitsinvp1 15171 . . . 4 |- ( ( ( A sadd B ) C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
987, 28, 97syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
9998oveq1d 6665 . 2 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. ( A sadd B ) , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) )
10020bitsinvp1 15171 . . . 4 |- ( ( A C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
1012, 28, 100syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
10220bitsinvp1 15171 . . . 4 |- ( ( B C_ NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
1033, 28, 102syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) )
104101, 103oveq12d 6668 . 2 |- ( ph -> ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. A , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) + ( ( K ` ( B i^i ( 0..^ N ) ) ) + if ( N e. B , ( 2 ^ N ) , 0 ) ) ) )
10596, 99, 1043eqtr4d 2666 1 |- ( ph -> ( ( K ` ( ( A sadd B ) i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + if ( (/) e. ( C ` ( N + 1 ) ) , ( 2 ^ ( N + 1 ) ) , 0 ) ) = ( ( K ` ( A i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) + ( K ` ( B i^i ( 0..^ ( N + 1 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483  haddwhad 1532  caddwcad 1545   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801   ^cexp 12860  bitscbits 15141   sadd csad 15142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-had 1533  df-cad 1546  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-sad 15173
This theorem is referenced by:  sadadd2  15182
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