Theorem chfacfscmulfsupp 20664

Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	|- A = ( N Mat R )
chfacfisf.b	|- B = ( Base ` A )
chfacfisf.p	|- P = (Poly1 ` R )
chfacfisf.y	|- Y = ( N Mat P )
chfacfisf.r	|- .X. = ( .r ` Y )
chfacfisf.s	|- .- = ( -g ` Y )
chfacfisf.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
chfacfisf.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
chfacfisf.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x	|- X = (var1 ` R )
chfacfscmulcl.m	|- .x. = ( .s ` Y )
chfacfscmulcl.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )

Assertion

Ref	Expression
chfacfscmulfsupp	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) finSupp .0. )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s, B   .0. , n   B, i, s   i, G   i, M   i, N   R, i   i, X   i, Y   .^ , i   .x. , b, i

Allowed substitution hints:   A( i, n, s, b)   B( b)   P( i, n, s, b)   R( s, b)   T( i, n, s, b)   .x. ( n, s)   .X. ( i, n, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   M( s, b)   .- ( i, n, s, b)   N( s, b)   X( n, s, b)   Y( s, b)   .0. ( i, s, b)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chfacfisf.0	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` Y )
2		fvex 6201	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 |- .0. e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> .0. e. _V )
5		ovexd 6680	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) e. _V )
6		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
7		peano2nn0 11333	. . . . 5 |- ( s e. NN0 -> ( s + 1 ) e. NN0 )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. NN0 )
9	8	ad2antrl 764	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. NN0 )
10		vex 3203	. . . . . . 7 |- k e. _V
11		csbov12g 6689	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( [_ k / i ]_ ( i .^ X ) .x. [_ k / i ]_ ( G ` i ) ) )
12		csbov1g 6690	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ ( i .^ X ) = ( [_ k / i ]_ i .^ X ) )
13		csbvarg 4003	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ i = k )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. _V -> ( [_ k / i ]_ i .^ X ) = ( k .^ X ) )
15	12, 14	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ ( i .^ X ) = ( k .^ X ) )
16		csbfv 6233	. . . . . . . . . 10 |- [_ k / i ]_ ( G ` i ) = ( G ` k )
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ ( G ` i ) = ( G ` k ) )
18	15, 17	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k e. _V -> ( [_ k / i ]_ ( i .^ X ) .x. [_ k / i ]_ ( G ` i ) ) = ( ( k .^ X ) .x. ( G ` k ) ) )
19	11, 18	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( k e. _V -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( ( k .^ X ) .x. ( G ` k ) ) )
20	10, 19	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = ( ( k .^ X ) .x. ( G ` k ) ) )
21		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) )
22		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) )
23	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN0 )
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> s e. NN0 )
25	24	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> s e. ZZ )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> s e. ZZ )
27		2z 11409	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. ZZ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> 2 e. ZZ )
29	26, 28	zaddcld 11486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( s + 2 ) e. ZZ )
30		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> k e. NN0 )
31	30	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> k e. ZZ )
32	9	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. ZZ )
33		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
34		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( s + 1 ) < k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
35	32, 33, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( s + 1 ) < k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
36	35	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k )
37		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. NN -> s e. CC )
38		add1p1 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. CC -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. NN -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
40	39	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. NN -> ( ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k <-> ( s + 2 ) <_ k ) )
41	40	bicomd 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN -> ( ( s + 2 ) <_ k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( ( s + 2 ) <_ k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
43	42	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( s + 2 ) <_ k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( ( s + 2 ) <_ k <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ k ) )
45	36, 44	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( s + 2 ) <_ k )
46		eluz2 11693	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) <-> ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ k e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ k ) )
47	29, 31, 45, 46	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> k e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) )
48		chfacfisf.a	. . . . . . . 8 |- A = ( N Mat R )
49		chfacfisf.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` A )
50		chfacfisf.p	. . . . . . . 8 |- P = (Poly1 ` R )
51		chfacfisf.y	. . . . . . . 8 |- Y = ( N Mat P )
52		chfacfisf.r	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` Y )
53		chfacfisf.s	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` Y )
54		chfacfisf.t	. . . . . . . 8 |- T = ( N matToPolyMat R )
55		chfacfisf.g	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
56		chfacfscmulcl.x	. . . . . . . 8 |- X = (var1 ` R )
57		chfacfscmulcl.m	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` Y )
58		chfacfscmulcl.e	. . . . . . . 8 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
59	48, 49, 50, 51, 52, 53, 1, 54, 55, 56, 57, 58	chfacfscmul0 20663	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( k .^ X ) .x. ( G ` k ) ) = .0. )
60	21, 22, 47, 59	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> ( ( k .^ X ) .x. ( G ` k ) ) = .0. )
61	20, 60	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < k ) -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. )
62	61	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( s + 1 ) < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) )
63	62	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> A. k e. NN0 ( ( s + 1 ) < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) )
64		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( z = ( s + 1 ) -> ( z < k <-> ( s + 1 ) < k ) )
65	64	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( z = ( s + 1 ) -> ( ( z < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) <-> ( ( s + 1 ) < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) ) )
66	65	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( z = ( s + 1 ) -> ( A. k e. NN0 ( z < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) <-> A. k e. NN0 ( ( s + 1 ) < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) ) )
67	66	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( s + 1 ) e. NN0 /\ A. k e. NN0 ( ( s + 1 ) < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) ) -> E. z e. NN0 A. k e. NN0 ( z < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) )
68	9, 63, 67	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> E. z e. NN0 A. k e. NN0 ( z < k -> [_ k / i ]_ ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) = .0. ) )
69	4, 5, 68	mptnn0fsupp 12797	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ X ) .x. ( G ` i ) ) ) finSupp .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   CRingccrg 18548  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  20665