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Theorem chfacfscmul0 20663
Description: A scaled value of the "characteristic factor function" is zero almost always. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a |- A = ( N Mat R )
chfacfisf.b |- B = ( Base ` A )
chfacfisf.p |- P = (Poly1 ` R )
chfacfisf.y |- Y = ( N Mat P )
chfacfisf.r |- .X. = ( .r ` Y )
chfacfisf.s |- .- = ( -g ` Y )
chfacfisf.0 |- .0. = ( 0g ` Y )
chfacfisf.t |- T = ( N matToPolyMat R )
chfacfisf.g |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
chfacfscmulcl.x |- X = (var1 ` R )
chfacfscmulcl.m |- .x. = ( .s ` Y )
chfacfscmulcl.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
Assertion
Ref Expression
chfacfscmul0 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = .0. )
Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s, B   n, K   .0. , n
Allowed substitution hints:   A( n, s, b)   B( b)   P( n, s, b)   R( s, b)   T( n, s, b)   .x. ( n, s, b)   .X. ( n, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   K( s, b)   M( s, b)   .- ( n, s, b)   N( s, b)   X( n, s, b)   Y( s, b)   .0. ( s, b)
Proof of Theorem chfacfscmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 11693 . . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) <-> ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) )
2 simpll 790 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> K e. ZZ )
3 nngt0 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> 0 < s )
4 nnre 11027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. NN -> s e. RR )
54adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> s e. RR )
6 2rp 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. RR+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 2 e. RR+ )
85, 7ltaddrpd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> s < ( s + 2 ) )
9 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 0 e. RR )
10 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. RR
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 2 e. RR )
125, 11readdcld 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( s + 2 ) e. RR )
13 lttr 10114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ ( s + 2 ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s < ( s + 2 ) ) -> 0 < ( s + 2 ) ) )
149, 5, 12, 13syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( 0 < s /\ s < ( s + 2 ) ) -> 0 < ( s + 2 ) ) )
158, 14mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( 0 < s -> 0 < ( s + 2 ) ) )
1615ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ZZ -> ( s e. NN -> ( 0 < s -> 0 < ( s + 2 ) ) ) )
1716com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 < s -> ( s e. NN -> ( K e. ZZ -> 0 < ( s + 2 ) ) ) )
183, 17mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. NN -> ( K e. ZZ -> 0 < ( s + 2 ) ) )
1918impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 0 < ( s + 2 ) )
20 zre 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> K e. RR )
22 ltleletr 10130 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( s + 2 ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( 0 < ( s + 2 ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K ) )
239, 12, 21, 22syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( 0 < ( s + 2 ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K ) )
2419, 23mpand 711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K -> 0 <_ K ) )
2524imp 445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K )
26 elnn0z 11390 . . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
272, 25, 26sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> K e. NN0 )
28 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> s e. CC )
29 add1p1 11283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
3231eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( s + 2 ) = ( ( s + 1 ) + 1 ) )
3332breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K ) )
34 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> s e. ZZ )
3534peano2zd 11485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. ZZ )
3635anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ ( s + 1 ) e. ZZ ) )
3736ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
38 zltp1le 11427 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( s + 1 ) < K <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K ) )
3938bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
4133, 40bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
4241biimpa 501 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s + 1 ) < K )
4327, 42jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) )
4443ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
4544impancom 456 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s e. NN -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
46453adant1 1079 . . . . . . 7 |- ( ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s e. NN -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
4746com12 32 . . . . . 6 |- ( s e. NN -> ( ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
481, 47syl5bi 232 . . . . 5 |- ( s e. NN -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
4948adantr 481 . . . 4 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
5049adantl 482 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
51 chfacfisf.g . . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
5251a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) ) )
53 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 e. RR )
54 peano2re 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR -> ( s + 1 ) e. RR )
554, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. RR )
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( s + 1 ) e. RR )
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. RR )
5857ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( s + 1 ) e. RR )
59 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
6059ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K e. RR )
61 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN0 )
6362ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> s e. NN0 )
64 nn0p1gt0 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN0 -> 0 < ( s + 1 ) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> 0 < ( s + 1 ) )
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 < ( s + 1 ) )
67 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( s + 1 ) < K )
6853, 58, 60, 66, 67lttrd 10198 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 < K )
6968gt0ne0d 10592 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= 0 )
7069neneqd 2799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> -. K = 0 )
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. K = 0 )
72 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = K -> ( n = 0 <-> K = 0 ) )
7372notbid 308 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( -. n = 0 <-> -. K = 0 ) )
7473adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( -. n = 0 <-> -. K = 0 ) )
7571, 74mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. n = 0 )
7675iffalsed 4097 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) )
7756ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( s + 1 ) e. RR )
78 ltne 10134 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s + 1 ) e. RR /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= ( s + 1 ) )
7977, 78sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= ( s + 1 ) )
8079neneqd 2799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> -. K = ( s + 1 ) )
8180adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. K = ( s + 1 ) )
82 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n = K -> ( n = ( s + 1 ) <-> K = ( s + 1 ) ) )
8382notbid 308 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( -. n = ( s + 1 ) <-> -. K = ( s + 1 ) ) )
8483adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( -. n = ( s + 1 ) <-> -. K = ( s + 1 ) ) )
8581, 84mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. n = ( s + 1 ) )
8685iffalsed 4097 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) = if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) )
87 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( s + 1 ) < K )
88 breq2 4657 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( ( s + 1 ) < n <-> ( s + 1 ) < K ) )
8988adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( ( s + 1 ) < n <-> ( s + 1 ) < K ) )
9087, 89mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( s + 1 ) < n )
9190iftrued 4094 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) = .0. )
9276, 86, 913eqtrd 2660 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = .0. )
93 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K e. NN0 )
94 chfacfisf.0 . . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` Y )
95 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
9694, 95eqeltri 2697 . . . . . . . 8 |- .0. e. _V
9796a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> .0. e. _V )
9852, 92, 93, 97fvmptd 6288 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( G ` K ) = .0. )
9998oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = ( ( K .^ X ) .x. .0. ) )
100 crngring 18558 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
101 chfacfisf.p . . . . . . . . . . . 12 |- P = (Poly1 ` R )
102 chfacfisf.y . . . . . . . . . . . 12 |- Y = ( N Mat P )
103101, 102pmatlmod 20499 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. LMod )
104100, 103sylan2 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. LMod )
1051043adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. LMod )
106105ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> Y e. LMod )
107101ply1ring 19618 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
108100, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
1091083ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P e. Ring )
110 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
111110ringmgp 18553 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Ring -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
112109, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
113112ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> (mulGrp ` P ) e. Mnd )
114 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
1151003ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
116 chfacfscmulcl.x . . . . . . . . . . . . 13 |- X = (var1 ` R )
117 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
118116, 101, 117vr1cl 19587 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` P ) )
120119ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> X e. ( Base ` P ) )
121110, 117mgpbas 18495 . . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` P ) = ( Base ` (mulGrp ` P ) )
122 chfacfscmulcl.e . . . . . . . . . . 11 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
123121, 122mulgnn0cl 17558 . . . . . . . . . 10 |- ( ( (mulGrp ` P ) e. Mnd /\ K e. NN0 /\ X e. ( Base ` P ) ) -> ( K .^ X ) e. ( Base ` P ) )
124113, 114, 120, 123syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( K .^ X ) e. ( Base ` P ) )
125101ply1crng 19568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
126125anim2i 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
1271263adant3 1081 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
128102matsca2 20226 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> P = (Scalar ` Y ) )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P = (Scalar ` Y ) )
130129eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (Scalar ` Y ) = P )
131130fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` P ) )
132131eleq2d 2687 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) <-> ( K .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
133132ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) <-> ( K .^ X ) e. ( Base ` P ) ) )
134124, 133mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
135106, 134jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( Y e. LMod /\ ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) ) )
136135adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( Y e. LMod /\ ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) ) )
137 eqid 2622 . . . . . . 7 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
138 chfacfscmulcl.m . . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` Y )
139 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
140137, 138, 139, 94lmodvs0 18897 . . . . . 6 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) ) -> ( ( K .^ X ) .x. .0. ) = .0. )
141136, 140syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ X ) .x. .0. ) = .0. )
14299, 141eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = .0. )
143142expl 648 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = .0. ) )
14450, 143syld 47 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = .0. ) )
1451443impia 1261 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( K .^ X ) .x. ( G ` K ) ) = .0. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   -gcsg 17424  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214
This theorem is referenced by:  chfacfscmulfsupp  20664  chfacfscmulgsum  20665
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