Theorem climleltrp 39908

Description: The limit of complex number sequence F is eventually approximated. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climleltrp.k	|- F/ k ph
climleltrp.f	|- F/_ k F
climleltrp.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climleltrp.n	|- ( ph -> N e. Z )
climleltrp.r	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
climleltrp.a	|- ( ph -> F ~~> A )
climleltrp.c	|- ( ph -> C e. RR )
climleltrp.l	|- ( ph -> A <_ C )
climleltrp.x	|- ( ph -> X e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
climleltrp	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   j, F   j, N, k   j, X, k   j, Z   ph, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( j, k)   F( k)   M( j, k)   Z( k)

Proof of Theorem climleltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climleltrp.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. Z )
2		climleltrp.z	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		uzss 11708	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	5, 2	syl6sseqr 3652	. 2 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
7		climleltrp.k	. . . 4 |- F/ k ph
8		climleltrp.f	. . . 4 |- F/_ k F
9		uzssz 11707	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
10	9, 3	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
12		climleltrp.a	. . . 4 |- ( ph -> F ~~> A )
13		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
14		climleltrp.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR+ )
15	7, 8, 10, 11, 12, 13, 14	clim2d 39905	. . 3 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) )
16		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k j e. ( ZZ>= ` N )
17	7, 16	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ k ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) )
18		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ph )
19		uzss 11708	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ZZ>= ` j ) C_ ( ZZ>= ` N ) )
21		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
22	20, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
24		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X )
25		climleltrp.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
26	13, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( F ` k ) e. RR )
28		climcl 14230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ~~> A -> A e. CC )
29	12, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. CC )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> A e. CC )
31	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
32	30, 31	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) = ( F ` k ) )
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) = ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( F ` k ) = ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) )
35	34, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) e. RR )
36		climleltrp.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C e. RR )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> C e. RR )
38	7, 8, 11, 10, 12, 25	climreclf 39896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> A e. RR )
40	27, 39	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. RR )
41	37, 40	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( C + ( ( F ` k ) - A ) ) e. RR )
42	14	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. RR )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> X e. RR )
44	37, 43	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( C + X ) e. RR )
45		climleltrp.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A <_ C )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> A <_ C )
47	39, 37, 40, 46	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) <_ ( C + ( ( F ` k ) - A ) ) )
48	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( F ` k ) e. CC )
49	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> A e. CC )
50	48, 49	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) - A ) e. CC )
51	50	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) e. RR )
52	40	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) - A ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
53		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X )
54	40, 51, 43, 52, 53	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) - A ) < X )
55	40, 43, 37, 54	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( C + ( ( F ` k ) - A ) ) < ( C + X ) )
56	35, 41, 44, 47, 55	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( A + ( ( F ` k ) - A ) ) < ( C + X ) )
57	34, 56	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( F ` k ) < ( C + X ) )
58	27, 57	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )
59	18, 23, 24, 58	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )
60	59	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) ) -> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )
61	60	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) ) )
62	17, 61	ralimdaa 2958	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) ) )
63	62	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. j e. ( ZZ>= ` N ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < X ) -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) ) )
64	15, 63	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. j e. ( ZZ>= ` N ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )
65		ssrexv 3667	. 2 |- ( ( ZZ>= ` N ) C_ Z -> ( E. j e. ( ZZ>= ` N ) A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) ) )
66	6, 64, 65	sylc 65	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) < ( C + X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  smflimlem2  40980