Theorem dprddisj2 18438

Description: The function S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dprdcntz2.2	|- ( ph -> dom S = I )
dprdcntz2.c	|- ( ph -> C C_ I )
dprdcntz2.d	|- ( ph -> D C_ I )
dprdcntz2.i	|- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
dprddisj2.0	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	|- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables f h i x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( G DProd ( S |` C ) )
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C C_ I )
5	2, 3, 4	dprdres 18427	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` C ) /\ ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
6	5	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G DProd ( S |` C ) ) C_ ( G DProd S ) )
7	1, 6	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ ( G DProd S ) )
8	7	sseld 3602	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. ( G DProd S ) ) )
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
11	9, 10	eldprd 18403	. . . . . . 7 |- ( dom S = I -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } x = ( G gsumg f ) ) ) )
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( G DProd S ) <-> ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } x = ( G gsumg f ) ) ) )
13	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> G dom DProd S )
14	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> dom S = I )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } )
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 18411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> f : I --> ( Base ` G ) )
18	17	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> f = ( x e. I |-> ( f ` x ) ) )
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( C i^i D ) = (/) )
20	19	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( I \ ( C i^i D ) ) = ( I \ (/) ) )
21		difindi 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I \ ( C i^i D ) ) = ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) )
22		dif0 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( I \ (/) ) = I
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) = I )
24		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) = I -> I C_ ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> I C_ ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> I C_ ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) )
27	26	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ x e. I ) -> x e. ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) )
28		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ( I \ C ) u. ( I \ D ) ) <-> ( x e. ( I \ C ) \/ x e. ( I \ D ) ) )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ x e. I ) -> ( x e. ( I \ C ) \/ x e. ( I \ D ) ) )
30	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> C C_ I )
31		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) )
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 18436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ x e. ( I \ C ) ) -> ( f ` x ) = .0. )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D C_ I )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> D C_ I )
35		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 18436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ x e. ( I \ D ) ) -> ( f ` x ) = .0. )
37	32, 36	jaodan 826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ ( x e. ( I \ C ) \/ x e. ( I \ D ) ) ) -> ( f ` x ) = .0. )
38	29, 37	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) /\ x e. I ) -> ( f ` x ) = .0. )
39	38	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( x e. I |-> ( f ` x ) ) = ( x e. I |-> .0. ) )
40	18, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> f = ( x e. I |-> .0. ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( x e. I |-> .0. ) ) )
42		dprdgrp 18404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
43		grpmnd 17429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
44	2, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Mnd )
45	2, 3	dprddomcld 18400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. _V )
46	9	gsumz 17374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Mnd /\ I e. _V ) -> ( G gsumg ( x e. I |-> .0. ) ) = .0. )
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G gsumg ( x e. I |-> .0. ) ) = .0. )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( G gsumg ( x e. I |-> .0. ) ) = .0. )
49	41, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) /\ ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) -> ( G gsumg f ) = .0. )
50	49	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) -> ( ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( G gsumg f ) = .0. ) )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) <-> ( G gsumg f ) e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
52		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G gsumg f ) e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) <-> ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
53	51, 52	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) <-> ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) ) )
54		velsn 4193	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { .0. } <-> x = .0. )
55		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x = .0. <-> ( G gsumg f ) = .0. ) )
56	54, 55	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. { .0. } <-> ( G gsumg f ) = .0. ) )
57	53, 56	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( G gsumg f ) -> ( ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) <-> ( ( ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` C ) ) /\ ( G gsumg f ) e. ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( G gsumg f ) = .0. ) ) )
58	50, 57	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } ) -> ( x = ( G gsumg f ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) ) )
59	58	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } x = ( G gsumg f ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) ) )
60	59	adantld 483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G dom DProd S /\ E. f e. { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. } x = ( G gsumg f ) ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) ) )
61	12, 60	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( G DProd S ) -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) ) )
62	61	com23 86	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> ( x e. ( G DProd S ) -> x e. { .0. } ) ) )
63	8, 62	mpdd 43	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) -> x e. { .0. } ) )
64	63	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) C_ { .0. } )
65	5	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` C ) )
66		dprdsubg 18423	. . . . 5 |- ( G dom DProd ( S |` C ) -> ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) )
67	9	subg0cl 17602	. . . . 5 |- ( ( G DProd ( S |` C ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` C ) ) )
68	65, 66, 67	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. ( G DProd ( S |` C ) ) )
69	2, 3, 33	dprdres 18427	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` D ) /\ ( G DProd ( S |` D ) ) C_ ( G DProd S ) ) )
70	69	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` D ) )
71		dprdsubg 18423	. . . . 5 |- ( G dom DProd ( S |` D ) -> ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
72	9	subg0cl 17602	. . . . 5 |- ( ( G DProd ( S |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. ( G DProd ( S |` D ) ) )
74	68, 73	elind 3798	. . 3 |- ( ph -> .0. e. ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
75	74	snssd 4340	. 2 |- ( ph -> { .0. } C_ ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) )
76	64, 75	eqssd 3620	1 |- ( ph -> ( ( G DProd ( S |` C ) ) i^i ( G DProd ( S |` D ) ) ) = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  18446  ablfac1eulem  18471  ablfac1eu  18472