Theorem ablfac1eulem 18471

Description: Lemma for ablfac1eu 18472. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac1.o	|- O = ( od ` G )
ablfac1.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac1.f	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac1.1	|- ( ph -> A C_ Prime )
ablfac1c.d	|- D = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac1.2	|- ( ph -> D C_ A )
ablfac1eu.1	|- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
ablfac1eu.2	|- ( ph -> dom T = A )
ablfac1eu.3	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
ablfac1eu.4	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
ablfac1eulem.1	|- ( ph -> P e. Prime )
ablfac1eulem.2	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
ablfac1eulem	|- ( ph -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, w, x, B   D, p, q, x   ph, p, q, w, x   S, q   A, p, q, x   O, p, q, x   P, p, q, x   T, q, x   G, p, q, x

Allowed substitution hints:   A( w)   C( x, w, q, p)   D( w)   P( w)   S( x, w, p)   T( w, p)   G( w)   O( w)

Proof of Theorem ablfac1eulem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- A C_ A
2		ablfac1eulem.2	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( y C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( y \ { P } ) = ( (/) \ { P } ) )
5		0dif 3977	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) \ { P } ) = (/)
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> ( y \ { P } ) = (/) )
7	6	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( T |` ( y \ { P } ) ) = ( T |` (/) ) )
8		res0 5400	. . . . . . . . . . 11 |- ( T |` (/) ) = (/)
9	7, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( y = (/) -> ( T |` ( y \ { P } ) ) = (/) )
10	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = (/) -> ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) = ( G DProd (/) ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = (/) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd (/) ) ) )
12	11	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) ) )
13	12	notbid 308	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> -. P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) ) )
14	3, 13	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( (/) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) ) ) ) )
16		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y C_ A <-> z C_ A ) )
17		difeq1 3721	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( y \ { P } ) = ( z \ { P } ) )
18	17	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( T |` ( y \ { P } ) ) = ( T |` ( z \ { P } ) ) )
19	18	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) = ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
22	21	notbid 308	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
23	16, 22	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = z -> ( ( ph -> ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
25		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( y C_ A <-> ( z u. { q } ) C_ A ) )
26		difeq1 3721	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( y \ { P } ) = ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
27	26	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( T |` ( y \ { P } ) ) = ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) = ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) )
30	29	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) )
31	30	notbid 308	. . . . . 6 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) )
32	25, 31	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) )
33	32	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = ( z u. { q } ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
34		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( y C_ A <-> A C_ A ) )
35		difeq1 3721	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> ( y \ { P } ) = ( A \ { P } ) )
36	35	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( T |` ( y \ { P } ) ) = ( T |` ( A \ { P } ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) = ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) )
39	38	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) )
40	39	notbid 308	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) <-> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) )
41	34, 40	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( y = A -> ( ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( A C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) ) )
42	41	imbi2d 330	. . . 4 |- ( y = A -> ( ( ph -> ( y C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( y \ { P } ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
43		ablfac1eulem.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. Prime )
44		nprmdvds1 15418	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> -. P || 1 )
46		ablfac1.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. Abel )
47		ablgrp 18198	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
49	48	dprd0 18430	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
50	46, 47, 49	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
51	50	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` ( G DProd (/) ) ) = ( # ` { ( 0g ` G ) } ) )
53		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) e. _V
54		hashsng 13159	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0g ` G ) e. _V -> ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1 )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1
56	52, 55	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( G DProd (/) ) ) = 1 )
57	56	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) <-> P || 1 ) )
58	45, 57	mtbird 315	. . . . 5 |- ( ph -> -. P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) )
59	58	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd (/) ) ) ) )
60		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- z C_ ( z u. { q } )
61		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z C_ ( z u. { q } ) /\ ( z u. { q } ) C_ A ) -> z C_ A )
62	60, 61	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( z u. { q } ) C_ A -> z C_ A )
63	62	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
64		ablfac1eu.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
65	64	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G dom DProd T )
66		ablfac1eu.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> dom T = A )
67	65, 66	dprdf2 18406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
69		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( z u. { q } ) C_ A )
70	69	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( z u. { q } ) \ { P } ) C_ A )
71	68, 70	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) : ( ( z u. { q } ) \ { P } ) --> (SubGrp ` G ) )
72		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> -. q e. z )
73		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z i^i { q } ) = (/) <-> -. q e. z )
74	72, 73	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( z i^i { q } ) = (/) )
75	74	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( z i^i { q } ) \ { P } ) = ( (/) \ { P } ) )
76		difindir 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z i^i { q } ) \ { P } ) = ( ( z \ { P } ) i^i ( { q } \ { P } ) )
77	75, 76, 5	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( z \ { P } ) i^i ( { q } \ { P } ) ) = (/) )
78		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z u. { q } ) \ { P } ) = ( ( z \ { P } ) u. ( { q } \ { P } ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( z u. { q } ) \ { P } ) = ( ( z \ { P } ) u. ( { q } \ { P } ) ) )
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
81	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> G dom DProd T )
82	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> dom T = A )
83	81, 82, 70	dprdres 18427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G dom DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) /\ ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
84	83	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> G dom DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) )
85	71, 77, 79, 80, 84	dprdsplit 18447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) = ( ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) )
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
88		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) : ( ( z u. { q } ) \ { P } ) --> (SubGrp ` G ) -> dom ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) = ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
89	71, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> dom ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) = ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
90		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z C_ ( z u. { q } ) -> ( z \ { P } ) C_ ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
91	60, 90	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( z \ { P } ) C_ ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
92	84, 89, 91	dprdres 18427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) )
93	92	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) )
94		dprdsubg 18423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
96		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { q } C_ ( z u. { q } )
97		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { q } C_ ( z u. { q } ) -> ( { q } \ { P } ) C_ ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
98	96, 97	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( { q } \ { P } ) C_ ( ( z u. { q } ) \ { P } ) )
99	84, 89, 98	dprdres 18427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) )
100	99	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) )
101		dprdsubg 18423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G dom DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
103	84, 89, 91, 98, 77, 48	dprddisj2 18438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) i^i ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = { ( 0g ` G ) } )
104	84, 89, 91, 98, 77, 87	dprdcntz2 18437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
105		ablfac1.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> B e. Fin )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> B e. Fin )
107		ablfac1.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B = ( Base ` G )
108	107	dprdssv 18415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) C_ B
109		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) e. Fin )
110	106, 108, 109	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) e. Fin )
111	107	dprdssv 18415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) C_ B
112		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. Fin )
113	106, 111, 112	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. Fin )
114	80, 48, 87, 95, 102, 103, 104, 110, 113	lsmhash 18118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) )
115	91	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) = ( T |` ( z \ { P } ) ) )
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) = ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) )
118	98	resabs1d 5428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) = ( T |` ( { q } \ { P } ) ) )
119	118	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) = ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) )
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
121	117, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) )
122	86, 114, 121	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) = ( ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) )
123	122	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) ) )
124	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> P e. Prime )
125	107	dprdssv 18415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) C_ B
126		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) e. Fin )
127	106, 125, 126	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) e. Fin )
128		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) e. Fin -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) e. NN0 )
129	127, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) e. NN0 )
130	129	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) e. ZZ )
131	107	dprdssv 18415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) C_ B
132		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. Fin )
133	106, 131, 132	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. Fin )
134		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) e. Fin -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) e. NN0 )
135	133, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) e. NN0 )
136	135	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) e. ZZ )
137		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) \/ P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) ) )
138	124, 130, 136, 137	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) <-> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) \/ P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) ) )
139	123, 138	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) <-> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) \/ P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) ) )
140	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> -. P || 1 )
141		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> q = P )
142	141	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> { q } = { P } )
143	142	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( { q } \ { P } ) = ( { P } \ { P } ) )
144		difid 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( { P } \ { P } ) = (/)
145	143, 144	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( { q } \ { P } ) = (/) )
146	145	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( T |` ( { q } \ { P } ) ) = ( T |` (/) ) )
147	146, 8	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( T |` ( { q } \ { P } ) ) = (/) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) = ( G DProd (/) ) )
149	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
150	148, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) = { ( 0g ` G ) } )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = ( # ` { ( 0g ` G ) } ) )
152	151, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = 1 )
153	152	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) <-> P || 1 ) )
154	140, 153	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q = P ) -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
155		ablfac1.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A C_ Prime )
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> A C_ Prime )
157	69	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> { q } C_ A )
158		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- q e. _V
159	158	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( q e. A <-> { q } C_ A )
160	157, 159	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> q e. A )
161	156, 160	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> q e. Prime )
162		ablfac1eu.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
163	160, 162	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> C e. NN0 )
164		prmdvdsexpr 15429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. Prime /\ q e. Prime /\ C e. NN0 ) -> ( P || ( q ^ C ) -> P = q ) )
165	124, 161, 163, 164	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( q ^ C ) -> P = q ) )
166		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P = q <-> q = P )
167	165, 166	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( q ^ C ) -> q = P ) )
168	167	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( q =/= P -> -. P || ( q ^ C ) ) )
169	168	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> -. P || ( q ^ C ) )
170		disjsn2 4247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q =/= P -> ( { q } i^i { P } ) = (/) )
171	170	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( { q } i^i { P } ) = (/) )
172		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( { q } i^i { P } ) = (/) <-> { q } = ( { q } \ { P } ) )
173	171, 172	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> { q } = ( { q } \ { P } ) )
174	173	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( T |` { q } ) = ( T |` ( { q } \ { P } ) ) )
175	174	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( G DProd ( T |` { q } ) ) = ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) )
176	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> G dom DProd T )
177	66	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> dom T = A )
178	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> q e. A )
179	176, 177, 178	dpjlem 18450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( G DProd ( T |` { q } ) ) = ( T ` q ) )
180	175, 179	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) = ( T ` q ) )
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
182		ablfac1eu.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
183	160, 182	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
184	183	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
185	181, 184	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) = ( q ^ C ) )
186	185	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) <-> P || ( q ^ C ) ) )
187	169, 186	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) /\ q =/= P ) -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
188	154, 187	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) )
189		orel2 398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) -> ( ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) \/ P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) -> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
190	188, 189	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) \/ P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( { q } \ { P } ) ) ) ) ) -> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
191	139, 190	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) -> P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) )
192	191	con3d 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. q e. z /\ ( z u. { q } ) C_ A ) ) -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) )
193	192	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. q e. z ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> ( -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) )
194	193	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. q e. z ) -> ( ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) )
195	63, 194	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. q e. z ) -> ( ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) )
196	195	expcom 451	. . . . . 6 |- ( -. q e. z -> ( ph -> ( ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
197	196	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( z e. Fin /\ -. q e. z ) -> ( ph -> ( ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
198	197	a2d 29	. . . 4 |- ( ( z e. Fin /\ -. q e. z ) -> ( ( ph -> ( z C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( z \ { P } ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( z u. { q } ) C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( ( z u. { q } ) \ { P } ) ) ) ) ) ) ) )
199	15, 24, 33, 42, 59, 198	findcard2s 8201	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) ) )
200	2, 199	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) ) )
201	1, 200	mpi 20	1 |- ( ph -> -. P || ( # ` ( G DProd ( T |` ( A \ { P } ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   odcod 17944   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  ablfac1eu  18472