Theorem dmdprdsplitlem 18436

Description: Lemma for dmdprdsplit 18446. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdsplitlem.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdsplitlem.w	|- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
dmdprdsplitlem.1	|- ( ph -> G dom DProd S )
dmdprdsplitlem.2	|- ( ph -> dom S = I )
dmdprdsplitlem.3	|- ( ph -> A C_ I )
dmdprdsplitlem.4	|- ( ph -> F e. W )
dmdprdsplitlem.5	|- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplitlem	|- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , h   h, i, A   h, G, i   h, I, i   h, F   S, h, i

Allowed substitution hints:   ph( h, i)   F( i)   W( h, i)   X( h, i)   .0. ( i)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem

Dummy variables f n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmdprdsplitlem.5	. . . . 5 |- ( ph -> ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) )
2		dmdprdsplitlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G dom DProd S )
3		dmdprdsplitlem.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom S = I )
4	2, 3	dprdf2 18406	. . . . . . 7 |- ( ph -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
5		dmdprdsplitlem.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ I )
6	4, 5	fssresd 6071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) )
7		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( ( S |` A ) : A --> (SubGrp ` G ) -> dom ( S |` A ) = A )
8		dmdprdsplitlem.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } = { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. }
10	8, 9	eldprd 18403	. . . . . 6 |- ( dom ( S |` A ) = A -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
11	6, 7, 10	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G gsumg F ) e. ( G DProd ( S |` A ) ) <-> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) )
12	1, 11	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( G dom DProd ( S |` A ) /\ E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) )
13	12	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
14	13	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> E. f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
15		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) )
16	12	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G dom DProd ( S |` A ) )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
18	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S |` A ) = A )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom ( S |` A ) = A )
20		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
22	9, 17, 19, 20, 21	dprdff 18411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f : A --> ( Base ` G ) )
23	22	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
24	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A C_ I )
25	24	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
26		iftrue 4092	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = ( f ` n ) )
27	26	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9 |- ( n e. A |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) )
28	25, 27	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) = ( n e. A |-> ( f ` n ) ) )
29	23, 28	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg f ) = ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
32	2	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G dom DProd S )
33		dprdgrp 18404	. . . . . . . 8 |- ( G dom DProd S -> G e. Grp )
34		grpmnd 17429	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> G e. Mnd )
36	2, 3	dprddomcld 18400	. . . . . . . 8 |- ( ph -> I e. _V )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> I e. _V )
38		dmdprdsplitlem.w	. . . . . . . 8 |- W = { h e. X_ i e. I ( S ` i ) | h finSupp .0. }
39	3	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> dom S = I )
40	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> G dom DProd ( S |` A ) )
41	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> dom ( S |` A ) = A )
42		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } )
43	9, 40, 41, 42	dprdfcl 18412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( ( S |` A ) ` n ) )
44		fvres 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( ( S |` A ) ` n ) = ( S ` n ) )
46	43, 45	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) e. ( S ` n ) )
47	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> S : I --> (SubGrp ` G ) )
48	47	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) )
49	8	subg0cl 17602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ` n ) e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. ( S ` n ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> .0. e. ( S ` n ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) /\ -. n e. A ) -> .0. e. ( S ` n ) )
52	46, 51	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. I ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. ( S ` n ) )
53		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. _V -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
54	36, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V )
56		funmpt 5926	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
58	9, 17, 19, 20	dprdffsupp 18413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> f finSupp .0. )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. A )
60		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
61	60	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> -. n e. ( f supp .0. ) )
62	59, 61	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) )
63		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( f supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
65	36, 5	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. _V )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> A e. _V )
67		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0g ` G ) e. _V
68	8, 67	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. e. _V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> .0. e. _V )
70	22, 64, 66, 69	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
71	70	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. ( A \ ( f supp .0. ) ) ) -> ( f ` n ) = .0. )
72	62, 71	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) /\ n e. A ) -> ( f ` n ) = .0. )
73	72	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( n e. A , .0. , .0. ) )
74		ifid 4125	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( n e. A , .0. , .0. ) = .0.
75	73, 74	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ ( f supp .0. ) ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
76	75, 37	suppss2 7329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) )
77		fsuppsssupp 8291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. _V /\ Fun ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) /\ ( f finSupp .0. /\ ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ ( f supp .0. ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
78	55, 57, 58, 76, 77	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) finSupp .0. )
79	38, 32, 39, 52, 78	dprdwd 18410	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) e. W )
80	38, 32, 39, 79, 21	dprdff 18411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) : I --> ( Base ` G ) )
81	38, 32, 39, 79, 31	dprdfcntz 18414	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ran ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
82		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( I \ A ) -> -. n e. A )
83	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> -. n e. A )
84	83	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) /\ n e. ( I \ A ) ) -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = .0. )
85	84, 37	suppss2 7329	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) supp .0. ) C_ A )
86	21, 8, 31, 35, 37, 80, 81, 85, 78	gsumzres 18310	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) |` A ) ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
87	15, 30, 86	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
88		dmdprdsplitlem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. W )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F e. W )
90	8, 38, 32, 39, 89, 79	dprdf11 18422	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) <-> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ) )
91	87, 90	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> F = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) )
92	91	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) )
93		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> X e. I )
94	93	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> X e. I )
95		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( n e. A <-> X e. A ) )
96		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = X -> ( f ` n ) = ( f ` X ) )
97	95, 96	ifbieq1d 4109	. . . . 5 |- ( n = X -> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
98		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) = ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) )
99		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( f ` n ) e. _V
100	99, 68	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) e. _V
101	97, 98, 100	fvmpt3i 6287	. . . 4 |- ( X e. I -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
102	94, 101	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( ( n e. I |-> if ( n e. A , ( f ` n ) , .0. ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) )
103		eldifn 3733	. . . . 5 |- ( X e. ( I \ A ) -> -. X e. A )
104	103	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> -. X e. A )
105	104	iffalsed 4097	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> if ( X e. A , ( f ` X ) , .0. ) = .0. )
106	92, 102, 105	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) /\ ( f e. { h e. X_ i e. A ( ( S |` A ) ` i ) | h finSupp .0. } /\ ( G gsumg F ) = ( G gsumg f ) ) ) -> ( F ` X ) = .0. )
107	14, 106	rexlimddv 3035	1 |- ( ( ph /\ X e. ( I \ A ) ) -> ( F ` X ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   X_cixp 7908   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprddisj2  18438