Theorem ellimciota 39846

Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimciota.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
ellimciota.a	|- ( ph -> A C_ CC )
ellimciota.b	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` K ) ` A ) )
ellimciota.4	|- ( ph -> ( F lim CC B ) =/= (/) )
ellimciota.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ellimciota	|- ( ph -> ( iota x x e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, K   ph, x

Proof of Theorem ellimciota

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> y e. ( F lim CC B ) ) )
2	1	cbviotav 5857	. 2 |- ( iota x x e. ( F lim CC B ) ) = ( iota y y e. ( F lim CC B ) )
3		iotaex 5868	. . . 4 |- ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. _V
4		ellimciota.4	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F lim CC B ) =/= (/) )
5		n0 3931	. . . . . 6 |- ( ( F lim CC B ) =/= (/) <-> E. x x e. ( F lim CC B ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. ( F lim CC B ) )
7		ellimciota.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : A --> CC )
8		ellimciota.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ CC )
9		ellimciota.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` K ) ` A ) )
10		ellimciota.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
11	7, 8, 9, 10	limcmo 23646	. . . . 5 |- ( ph -> E* x x e. ( F lim CC B ) )
12		eu5 2496	. . . . 5 |- ( E! x x e. ( F lim CC B ) <-> ( E. x x e. ( F lim CC B ) /\ E* x x e. ( F lim CC B ) ) )
13	6, 11, 12	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> E! x x e. ( F lim CC B ) )
14		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) -> ( x e. ( F lim CC B ) <-> ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) ) )
15	14	iota2 5877	. . . 4 |- ( ( ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. _V /\ E! x x e. ( F lim CC B ) ) -> ( ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) <-> ( iota x x e. ( F lim CC B ) ) = ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) ) )
16	3, 13, 15	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) <-> ( iota x x e. ( F lim CC B ) ) = ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) ) )
17	2, 16	mpbiri 248	. 2 |- ( ph -> ( iota y y e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) )
18	2, 17	syl5eqel 2705	1 |- ( ph -> ( iota x x e. ( F lim CC B ) ) e. ( F lim CC B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   limPtclp 20938   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40417  fourierdlem113  40436