Theorem fourierdlem113 40436

Description: Fourier series convergence for periodic, piecewise smooth functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem113.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem113.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierdlem113.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem113.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem113.l	|- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
fourierdlem113.r	|- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem113.p	|- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem113.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem113.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem113.dvcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem113.dvlb	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
fourierdlem113.dvub	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
fourierdlem113.a	|- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem113.b	|- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
fourierdlem113.15	|- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
fourierdlem113.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem113.exq	|- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem113	|- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   x, E   i, F, n, x   i, L, n   i, M, x, n   M, p, i, n   Q, i, x, n   Q, p   R, i, n   T, i, x, n   T, p   i, X, x, n   X, p   ph, i, x, n

Allowed substitution hints:   ph( p)   A( x, i, p)   B( x, i, p)   P( x, i, n, p)   R( x, p)   S( x, i, n, p)   E( i, n, p)   F( p)   L( x, p)

Proof of Theorem fourierdlem113

Dummy variables k j m w y t u z f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem113.f	. 2 |- ( ph -> F : RR --> RR )
2		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w mod ( 2 x. pi ) ) = ( y mod ( 2 x. pi ) ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( w mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) )
4		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) = ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) = ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) )
6		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w / 2 ) = ( y / 2 ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( sin ` ( w / 2 ) ) = ( sin ` ( y / 2 ) ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) )
9	5, 8	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
10	3, 9	ifbieq2d 4111	. . . . 5 |- ( w = y -> if ( ( w mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
11	10	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( w e. RR |-> if ( ( w mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. m ) )
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( ( 2 x. m ) + 1 ) )
14	13	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( k + ( 1 / 2 ) ) = ( m + ( 1 / 2 ) ) )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) = ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) = ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) )
19	14, 18	ifeq12d 4106	. . . . 5 |- ( k = m -> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) = if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) )
20	19	mpteq2dv 4745	. . . 4 |- ( k = m -> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
21	11, 20	syl5eq 2668	. . 3 |- ( k = m -> ( w e. RR |-> if ( ( w mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) ) ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
22	21	cbvmptv 4750	. 2 |- ( k e. NN |-> ( w e. RR |-> if ( ( w mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( k + ( 1 / 2 ) ) x. w ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( w / 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( y e. RR |-> if ( ( y mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. m ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( m + ( 1 / 2 ) ) x. y ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( y / 2 ) ) ) ) ) ) )
23		fourierdlem113.p	. 2 |- P = ( n e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... n ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` n ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ n ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
24		fourierdlem113.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
25		fourierdlem113.q	. 2 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( w + ( j x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
28	27	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q <-> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
29	28	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q }
30	29	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } )
31	30	fveq2i 6194	. . 3 |- ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) )
32	31	oveq1i 6660	. 2 |- ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( k x. T ) = ( j x. T ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
35	34	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
36	35	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
38	37	rabbiia 3185	. . . . . . 7 |- { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q }
39	38	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } )
40		isoeq5 6571	. . . . . 6 |- ( ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
42	41	a1i 11	. . . 4 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
43	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( w + ( k x. T ) ) = ( w + ( j x. T ) ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = j -> ( ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
45	44	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) -> ( E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q ) )
47	46	rabbiia 3185	. . . . . . . . . 10 |- { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q }
48	47	uneq2i 3764	. . . . . . . . 9 |- ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } )
49	48	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) )
50	49	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
51	50	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) )
52		isoeq4 6570	. . . . . 6 |- ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
54	53	a1i 11	. . . 4 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
55		isoeq1 6567	. . . 4 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
56	42, 54, 55	3bitrd 294	. . 3 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
57	56	cbviotav 5857	. 2 |- ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( w + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
58		fourierdlem113.x	. 2 |- ( ph -> X e. RR )
59		pire 24210	. . . . 5 |- pi e. RR
60	59	renegcli 10342	. . . 4 |- -u pi e. RR
61	60	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi e. RR )
62	59	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> pi e. RR )
63		negpilt0 39492	. . . 4 |- -u pi < 0
64	63	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> -u pi < 0 )
65		pipos 24212	. . . 4 |- 0 < pi
66	65	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 < pi )
67		picn 24211	. . . . 5 |- pi e. CC
68	67	2timesi 11147	. . . 4 |- ( 2 x. pi ) = ( pi + pi )
69		fourierdlem113.t	. . . 4 |- T = ( 2 x. pi )
70	67, 67	subnegi 10360	. . . 4 |- ( pi - -u pi ) = ( pi + pi )
71	68, 69, 70	3eqtr4i 2654	. . 3 |- T = ( pi - -u pi )
72	23	fourierdlem2 40326	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
73	24, 72	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
74	25, 73	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
75	74	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
76		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
77	75, 76	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
78		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
79		rnffi 39356	. . . 4 |- ( ( Q : ( 0 ... M ) --> RR /\ ( 0 ... M ) e. Fin ) -> ran Q e. Fin )
80	77, 78, 79	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ran Q e. Fin )
81	23, 24, 25	fourierdlem15 40339	. . . 4 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
82		frn 6053	. . . 4 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) -> ran Q C_ ( -u pi [,] pi ) )
83	81, 82	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran Q C_ ( -u pi [,] pi ) )
84	74	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Q ` 0 ) = -u pi /\ ( Q ` M ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
85	84	simplrd 793	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) = pi )
86		ffun 6048	. . . . . 6 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) -> Fun Q )
87	81, 86	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Fun Q )
88	24	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
89		nn0uz 11722	. . . . . . . 8 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
90	88, 89	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
91		eluzfz2 12349	. . . . . . 7 |- ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) -> M e. ( 0 ... M ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( 0 ... M ) )
93		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) -> dom Q = ( 0 ... M ) )
94	81, 93	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom Q = ( 0 ... M ) )
95	94	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... M ) = dom Q )
96	92, 95	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ph -> M e. dom Q )
97		fvelrn 6352	. . . . 5 |- ( ( Fun Q /\ M e. dom Q ) -> ( Q ` M ) e. ran Q )
98	87, 96, 97	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ` M ) e. ran Q )
99	85, 98	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> pi e. ran Q )
100		fourierdlem113.e	. . 3 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) ) )
101		fourierdlem113.exq	. . 3 |- ( ph -> ( E ` X ) e. ran Q )
102		eqid 2622	. . 3 |- ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
103		isoeq1 6567	. . . . 5 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
104	30, 48, 39	3eqtr4ri 2655	. . . . . 6 |- ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
105		isoeq5 6571	. . . . . 6 |- ( ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
106	104, 105	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
107	103, 106	syl6bb 276	. . . 4 |- ( g = f -> ( g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
108	107	cbviotav 5857	. . 3 |- ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
109		eqid 2622	. . 3 |- { w e. ( ( -u pi + X ) (,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { w e. ( ( -u pi + X ) (,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q }
110	61, 62, 64, 66, 71, 80, 83, 99, 100, 58, 101, 102, 108, 109	fourierdlem51 40374	. 2 |- ( ph -> X e. ran ( iota g g Isom < , < ( ( 0 ... ( ( # ` ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { w e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( w + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) ) , ( { ( -u pi + X ) , ( pi + X ) } u. { y e. ( ( -u pi + X ) [,] ( pi + X ) ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
111		fourierdlem113.per	. 2 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
112		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
113	112	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ CC )
114		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR
115	114	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
116	1, 115	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
117	112	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR C_ CC )
118	116, 117	fssd 6057	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
119	118	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
120	114	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR )
121	1, 117	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : RR --> CC )
122	121	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> F : RR --> CC )
123		ssid 3624	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
124	123	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> RR C_ RR )
125		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
126	125	tgioo2 22606	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
127	125, 126	dvres 23675	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ F : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
128	113, 122, 124, 120, 127	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
129	128	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
130		ioontr 39736	. . . . . . 7 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) )
131	130	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
132	131	dmeqi 5325	. . . . 5 |- dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
133	132	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
134		fourierdlem113.dvcn	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
135		cncff 22696	. . . . 5 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
136		fdm 6051	. . . . 5 |- ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
137	134, 135, 136	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
138	129, 133, 137	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
139		dvcn 23684	. . 3 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC /\ ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ RR ) /\ dom ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
140	113, 119, 120, 138, 139	syl31anc 1329	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
141	120, 113	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ CC )
142	77	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
143		fzofzp1 12565	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
144	143	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
145	142, 144	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR )
146	145	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. RR* )
147		elfzofz 12485	. . . . . 6 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
148	147	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
149	142, 148	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR )
150	74	simprrd 797	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
151	150	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
152	125, 146, 149, 151	lptioo1cn 39878	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
153	116	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> RR )
154	123	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ RR )
155	117, 121, 154	dvbss 23665	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( RR _D F ) C_ RR )
156		dvfre 23714	. . . . . . . 8 |- ( ( F : RR --> RR /\ RR C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
157	1, 154, 156	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
158		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
159	60, 158, 59	lttri 10163	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u pi < 0 /\ 0 < pi ) -> -u pi < pi )
160	63, 65, 159	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- -u pi < pi
161	160	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u pi < pi )
162	84	simplld 791	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = -u pi )
163	134, 135	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
164		fourierdlem113.dvlb	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
165	163, 141, 152, 164, 125	ellimciota 39846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
166	149	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. RR* )
167	125, 166, 145, 151	lptioo2cn 39877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
168		fourierdlem113.dvub	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
169	163, 141, 167, 168, 125	ellimciota 39846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
170	121	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> F : RR --> CC )
171		zre 11381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
172	171	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
173		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
174	173, 59	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. pi ) e. RR
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. RR )
176	69, 175	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. RR )
177	176	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
178	172, 177	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
179	170	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> F : RR --> CC )
180	177	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> T e. RR )
181		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> k e. ZZ )
182		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> t e. RR )
183	111	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
184	179, 180, 181, 182, 183	fperiodmul 39518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. RR ) -> ( F ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( F ` t ) )
185		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D F ) = ( RR _D F )
186	170, 178, 184, 185	fperdvper 40133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
187	186	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
188	187	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( t + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) )
189	187	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. dom ( RR _D F ) ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( RR _D F ) ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
190		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( Q ` j ) = ( Q ` i ) )
191		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( j + 1 ) = ( i + 1 ) )
192	191	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( Q ` ( j + 1 ) ) = ( Q ` ( i + 1 ) ) )
193	190, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
194	193	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` j ) (,) ( Q ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
195		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) ) = ( t e. RR |-> ( t + ( ( |_ ` ( ( pi - t ) / T ) ) x. T ) ) )
196	155, 157, 61, 62, 161, 71, 24, 77, 162, 85, 134, 165, 169, 188, 189, 194, 195	fourierdlem71 40394	. . . . . 6 |- ( ph -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
197	196	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
198		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ t ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) )
199		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ t A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z
200	198, 199	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ t ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
201	128, 131	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
202	201	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) )
203		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
204	202, 203	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) = ( ( RR _D F ) ` t ) )
205	204	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
206	205	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) = ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) )
207		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
208		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) <-> dom ( ( RR _D F ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
209	137, 208	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
210	209	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
211		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
212	210, 211	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> t e. dom ( RR _D F ) )
213		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z /\ t e. dom ( RR _D F ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
214	207, 212, 213	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z )
215	206, 214	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) /\ t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
216	215	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> ( t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
217	200, 216	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z ) -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
218	217	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
219	218	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( E. z e. RR A. t e. dom ( RR _D F ) ( abs ` ( ( RR _D F ) ` t ) ) <_ z -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z ) )
220	197, 219	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> E. z e. RR A. t e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ( abs ` ( ( RR _D ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) ` t ) ) <_ z )
221	149, 145, 153, 138, 220	ioodvbdlimc1 40148	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) =/= (/) )
222	119, 141, 152, 221, 125	ellimciota 39846	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
223	149, 145, 153, 138, 220	ioodvbdlimc2 40150	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) =/= (/) )
224	119, 141, 167, 223, 125	ellimciota 39846	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( iota y y e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
225		frel 6050	. . . . . . 7 |- ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR -> Rel ( RR _D F ) )
226	157, 225	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Rel ( RR _D F ) )
227		resindm 5444	. . . . . 6 |- ( Rel ( RR _D F ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) )
228	226, 227	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) )
229		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ dom ( RR _D F )
230	229	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
231	157, 230	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) : ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> RR )
232	228, 231	feq1dd 39347	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) : ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> RR )
233	232, 117	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) : ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> CC )
234		ioosscn 39716	. . . . 5 |- ( -oo (,) X ) C_ CC
235		ssinss1 3841	. . . . 5 |- ( ( -oo (,) X ) C_ CC -> ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
236	234, 235	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC
237	236	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
238		3simpb 1059	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( RR _D F ) /\ k e. ZZ ) -> ( ph /\ k e. ZZ ) )
239		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom ( RR _D F ) /\ k e. ZZ ) -> x e. dom ( RR _D F ) )
240	170	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> F : RR --> CC )
241	177	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> T e. RR )
242		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> k e. ZZ )
243		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
244		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( x e. RR <-> y e. RR ) )
245	244	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ y e. RR ) ) )
246		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x + T ) = ( y + T ) )
247	246	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( y + T ) ) )
248		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
249	247, 248	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) )
250	245, 249	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) ) ) )
251	250, 111	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
252	251	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + T ) ) = ( F ` y ) )
253	240, 241, 242, 243, 252	fperiodmul 39518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( F ` x ) )
254	170, 178, 253, 185	fperdvper 40133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ZZ ) /\ x e. dom ( RR _D F ) ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
255	238, 239, 254	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom ( RR _D F ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
256	255	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom ( RR _D F ) /\ k e. ZZ ) -> ( x + ( k x. T ) ) e. dom ( RR _D F ) )
257		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( pi - w ) = ( pi - x ) )
258	257	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( pi - w ) / T ) = ( ( pi - x ) / T ) )
259	258	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( |_ ` ( ( pi - w ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) )
260	259	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( |_ ` ( ( pi - w ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
261	260	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( w e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - w ) / T ) ) x. T ) ) = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
262		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR |-> ( x + ( ( w e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - w ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( w e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - w ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
263	61, 62, 161, 71, 256, 58, 261, 262, 23, 24, 25, 209	fourierdlem41 40365	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. y e. RR ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) /\ E. y e. RR ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) )
264	263	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) )
265	125	cnfldtop 22587	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
266	265	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
267	236	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
268		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> -oo e. RR* )
270		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> y e. RR* )
271		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> -oo < y )
272	269, 270, 271	xrltled 39486	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> -oo <_ y )
273		iooss1 12210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -oo e. RR* /\ -oo <_ y ) -> ( y (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
274	269, 272, 273	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( y (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
275	274	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( y (,) X ) C_ ( -oo (,) X ) )
276		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) )
277	275, 276	ssind 3837	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( y (,) X ) C_ ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) )
278		unicntop 22589	. . . . . . . . 9 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
279	278	lpss3 20948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC /\ ( y (,) X ) C_ ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( y (,) X ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
280	266, 267, 277, 279	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( y (,) X ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
281	280	3adant3l 1322	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( y (,) X ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
282	270	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> y e. RR* )
283	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. RR )
284		simp3l 1089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> y < X )
285	125, 282, 283, 284	lptioo2cn 39877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( y (,) X ) ) )
286	281, 285	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
287	286	rexlimdv3a 3033	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR ( y < X /\ ( y (,) X ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) ) )
288	264, 287	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( -oo (,) X ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
289	255	simprd 479	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. dom ( RR _D F ) /\ k e. ZZ ) -> ( ( RR _D F ) ` ( x + ( k x. T ) ) ) = ( ( RR _D F ) ` x ) )
290		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( pi - y ) = ( pi - x ) )
291	290	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( ( pi - y ) / T ) = ( ( pi - x ) / T ) )
292	291	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) )
293	292	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
294	293	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) = ( x e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - x ) / T ) ) x. T ) )
295		id 22	. . . . . 6 |- ( z = x -> z = x )
296		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) = ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) )
297	295, 296	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( z = x -> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) = ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
298	297	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( z e. RR |-> ( z + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` z ) ) ) = ( x e. RR |-> ( x + ( ( y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( pi - y ) / T ) ) x. T ) ) ` x ) ) )
299	61, 62, 161, 23, 71, 24, 25, 155, 157, 256, 289, 134, 169, 58, 294, 298	fourierdlem49 40372	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) =/= (/) )
300	233, 237, 288, 299, 125	ellimciota 39846	. 2 |- ( ph -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
301		resindm 5444	. . . . . 6 |- ( Rel ( RR _D F ) -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) )
302	226, 301	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) = ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) )
303		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ dom ( RR _D F )
304	303	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ dom ( RR _D F ) )
305	157, 304	fssresd 6071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) : ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> RR )
306	302, 305	feq1dd 39347	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) : ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> RR )
307	306, 117	fssd 6057	. . 3 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) : ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) --> CC )
308		ioosscn 39716	. . . . 5 |- ( X (,) +oo ) C_ CC
309		ssinss1 3841	. . . . 5 |- ( ( X (,) +oo ) C_ CC -> ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
310	308, 309	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC
311	310	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
312	263	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> E. y e. RR ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) )
313	265	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
314	310	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC )
315		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
316	315	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> +oo e. RR* )
317		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> y < +oo )
318	270, 316, 317	xrltled 39486	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y <_ +oo )
319		iooss2 12211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( +oo e. RR* /\ y <_ +oo ) -> ( X (,) y ) C_ ( X (,) +oo ) )
320	316, 318, 319	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( X (,) y ) C_ ( X (,) +oo ) )
321	320	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( X (,) y ) C_ ( X (,) +oo ) )
322		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) )
323	321, 322	ssind 3837	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( X (,) y ) C_ ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) )
324	278	lpss3 20948	. . . . . . . 8 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) C_ CC /\ ( X (,) y ) C_ ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) y ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
325	313, 314, 323, 324	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) y ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
326	325	3adant3l 1322	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) y ) ) C_ ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
327	270	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> y e. RR* )
328	58	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. RR )
329		simp3l 1089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X < y )
330	125, 327, 328, 329	lptioo1cn 39878	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) y ) ) )
331	326, 330	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR /\ ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
332	331	rexlimdv3a 3033	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. RR ( X < y /\ ( X (,) y ) C_ dom ( RR _D F ) ) -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) ) )
333	312, 332	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( ( X (,) +oo ) i^i dom ( RR _D F ) ) ) )
334		biid 251	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) <-> ( ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ w e. ( ( Q ` i ) [,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) /\ k e. ZZ ) /\ w = ( X + ( k x. T ) ) ) )
335	61, 62, 161, 23, 71, 24, 25, 157, 256, 289, 134, 165, 58, 294, 298, 334	fourierdlem48 40371	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) =/= (/) )
336	307, 311, 333, 335, 125	ellimciota 39846	. 2 |- ( ph -> ( iota x x e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) ) e. ( ( ( RR _D F ) |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
337		fourierdlem113.l	. 2 |- ( ph -> L e. ( ( F |` ( -oo (,) X ) ) lim CC X ) )
338		fourierdlem113.r	. 2 |- ( ph -> R e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
339		fourierdlem113.a	. 2 |- A = ( n e. NN0 |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( cos ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
340		fourierdlem113.b	. 2 |- B = ( n e. NN |-> ( S. ( -u pi (,) pi ) ( ( F ` x ) x. ( sin ` ( n x. x ) ) ) _d x / pi ) )
341		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
342		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n x. X ) = ( k x. X ) )
343	342	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( cos ` ( n x. X ) ) = ( cos ` ( k x. X ) ) )
344	341, 343	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) )
345		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( B ` n ) = ( B ` k ) )
346	342	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( sin ` ( n x. X ) ) = ( sin ` ( k x. X ) ) )
347	345, 346	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) = ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) )
348	344, 347	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) )
349	348	cbvsumv 14426	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) )
350		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( j = m -> ( 1 ... j ) = ( 1 ... m ) )
351	350	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( j = m -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... j ) )
352	351	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( j = m -> sum_ k e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... j ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) )
353	349, 352	syl5req 2669	. . . 4 |- ( j = m -> sum_ k e. ( 1 ... j ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
354	353	oveq2d 6666	. . 3 |- ( j = m -> ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... j ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) )
355	354	cbvmptv 4750	. 2 |- ( j e. NN |-> ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... j ) ( ( ( A ` k ) x. ( cos ` ( k x. X ) ) ) + ( ( B ` k ) x. ( sin ` ( k x. X ) ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... m ) ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) )
356		fourierdlem113.15	. 2 |- S = ( n e. NN |-> ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) )
357		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( F : RR --> RR -> dom F = RR )
358	1, 357	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom F = RR )
359	358, 154	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ph -> dom F C_ RR )
360	358	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : dom F --> RR <-> F : RR --> RR ) )
361	1, 360	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> F : dom F --> RR )
362	359	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. dom F ) -> t e. RR )
363	362	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> t e. RR )
364	171	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
365	177	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
366	364, 365	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
367	363, 366	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( t + ( k x. T ) ) e. RR )
368	358	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> RR = dom F )
369	368	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> RR = dom F )
370	367, 369	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( t + ( k x. T ) ) e. dom F )
371		id 22	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ph /\ k e. ZZ ) )
372	371	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( ph /\ k e. ZZ ) )
373	372, 363, 184	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. dom F ) /\ k e. ZZ ) -> ( F ` ( t + ( k x. T ) ) ) = ( F ` t ) )
374	359, 361, 61, 62, 161, 71, 24, 77, 162, 85, 140, 222, 224, 370, 373, 194, 195	fourierdlem71 40394	. . 3 |- ( ph -> E. u e. RR A. t e. dom F ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u )
375	358	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. t e. dom F ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u <-> A. t e. RR ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u ) )
376	375	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. RR A. t e. dom F ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u <-> E. u e. RR A. t e. RR ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u ) )
377	374, 376	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> E. u e. RR A. t e. RR ( abs ` ( F ` t ) ) <_ u )
378	1, 22, 23, 24, 25, 32, 57, 58, 110, 69, 111, 140, 222, 224, 134, 300, 336, 337, 338, 339, 340, 355, 356, 377, 196, 58	fourierdlem112 40435	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , S ) ~~> ( ( ( L + R ) / 2 ) - ( ( A ` 0 ) / 2 ) ) /\ ( ( ( A ` 0 ) / 2 ) + sum_ n e. NN ( ( ( A ` n ) x. ( cos ` ( n x. X ) ) ) + ( ( B ` n ) x. ( sin ` ( n x. X ) ) ) ) ) = ( ( L + R ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   Rel wrel 5119   iotacio 5849   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   mod cmo 12668   seqcseq 12801   #chash 13117   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   limPtclp 20938   -cn->ccncf 22679   S.citg 23387   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem114  40437