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Theorem esumiun 30156
Description: Sum over a non necessarily disjoint indexed union. The inegality is strict in the case where the sets B(x) overlap. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumiun.0 |- ( ph -> A e. V )
esumiun.1 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
esumiun.2 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
esumiun |- ( ph -> Σ* k e. U_ j e. A B C <_ Σ* j e. AΣ* k e. B C )
Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j   j, W, k   ph, j, k
Allowed substitution hints:   B( j)   C( k)   V( j, k)
Proof of Theorem esumiun
Dummy variables f l z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumiun.0 . . . 4 |- ( ph -> A e. V )
2 esumiun.1 . . . 4 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W )
31, 2aciunf1 29463 . . 3 |- ( ph -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
4 f1f1orn 6148 . . . . . 6 |- ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) -> f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f )
54anim1i 592 . . . . 5 |- ( ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
6 f1f 6101 . . . . . . 7 |- ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) -> f : U_ j e. A B --> U_ j e. A ( { j } X. B ) )
7 frn 6053 . . . . . . 7 |- ( f : U_ j e. A B --> U_ j e. A ( { j } X. B ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
86, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
98adantr 481 . . . . 5 |- ( ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
105, 9jca 554 . . . 4 |- ( ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
1110eximi 1762 . . 3 |- ( E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> E. f ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
123, 11syl 17 . 2 |- ( ph -> E. f ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
13 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ z ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
14 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ z C
15 nfcsb1v 3549 . . . . . 6 |- F/_ k [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C
16 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ z U_ j e. A B
17 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ z ran f
18 nfcv 2764 . . . . . 6 |- F/_ z `' f
19 csbeq1a 3542 . . . . . 6 |- ( k = ( 2nd ` z ) -> C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
202ralrimiva 2966 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. A B e. W )
21 iunexg 7143 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A B e. W ) -> U_ j e. A B e. _V )
221, 20, 21syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> U_ j e. A B e. _V )
2322adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> U_ j e. A B e. _V )
24 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f )
25 f1ocnv 6149 . . . . . . . 8 |- ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ j e. A B )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ j e. A B )
2726adantrlr 759 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> `' f : ran f -1-1-onto-> U_ j e. A B )
28 nfv 1843 . . . . . . . . 9 |- F/ j ph
29 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j f
30 nfiu1 4550 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j U_ j e. A B
3129nfrn 5368 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j ran f
3229, 30, 31nff1o 6135 . . . . . . . . . . 11 |- F/ j f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f
33 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ j ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l
3430, 33nfral 2945 . . . . . . . . . . 11 |- F/ j A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l
3532, 34nfan 1828 . . . . . . . . . 10 |- F/ j ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
36 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ j ran f
37 nfiu1 4550 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. B )
3836, 37nfss 3596 . . . . . . . . . 10 |- F/ j ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B )
3935, 38nfan 1828 . . . . . . . . 9 |- F/ j ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
4028, 39nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
41 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ j z e. ran f
4240, 41nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ j ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f )
43 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( f ` k ) = z )
4443fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = ( 2nd ` z ) )
45 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> k e. U_ j e. A B )
46 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) )
4746simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) )
4847simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l )
50 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = k -> ( f ` l ) = ( f ` k ) )
5150fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> ( 2nd ` ( f ` l ) ) = ( 2nd ` ( f ` k ) ) )
52 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( l = k -> l = k )
5351, 52eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( l = k -> ( ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l <-> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) )
5453rspcva 3307 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. U_ j e. A B /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k )
5545, 49, 54syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k )
5644, 55eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( 2nd ` z ) = k )
5747simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f )
5857ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f )
59 f1ocnvfv1 6532 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ k e. U_ j e. A B ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = k )
6058, 45, 59syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = k )
6143fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` ( f ` k ) ) = ( `' f ` z ) )
6256, 60, 613eqtr2rd 2663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) /\ ( f ` k ) = z ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
63 f1ofn 6138 . . . . . . . . . 10 |- ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f -> f Fn U_ j e. A B )
6457, 63syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> f Fn U_ j e. A B )
65 simpllr 799 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> z e. ran f )
66 fvelrnb 6243 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn U_ j e. A B -> ( z e. ran f <-> E. k e. U_ j e. A B ( f ` k ) = z ) )
6766biimpa 501 . . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn U_ j e. A B /\ z e. ran f ) -> E. k e. U_ j e. A B ( f ` k ) = z )
6864, 65, 67syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> E. k e. U_ j e. A B ( f ` k ) = z )
6962, 68r19.29a 3078 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) /\ j e. A ) /\ z e. ( { j } X. B ) ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
70 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
7170sselda 3603 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
72 eliun 4524 . . . . . . . 8 |- ( z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
7371, 72sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> E. j e. A z e. ( { j } X. B ) )
7442, 69, 73r19.29af 3076 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. ran f ) -> ( `' f ` z ) = ( 2nd ` z ) )
75 nfcv 2764 . . . . . . . . . 10 |- F/_ j k
7675, 30nfel 2777 . . . . . . . . 9 |- F/ j k e. U_ j e. A B
7728, 76nfan 1828 . . . . . . . 8 |- F/ j ( ph /\ k e. U_ j e. A B )
78 esumiun.2 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
7978adantllr 755 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. U_ j e. A B ) /\ j e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
80 eliun 4524 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. U_ j e. A B <-> E. j e. A k e. B )
8180biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( k e. U_ j e. A B -> E. j e. A k e. B )
8281adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. U_ j e. A B ) -> E. j e. A k e. B )
8377, 79, 82r19.29af 3076 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U_ j e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
8483adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ k e. U_ j e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
8513, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 27, 74, 84esumf1o 30112 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* k e. U_ j e. A B C = Σ* z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
8685eqcomd 2628 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C = Σ* k e. U_ j e. A B C )
87 snex 4908 . . . . . . . . . 10 |- { j } e. _V
8887a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> { j } e. _V )
89 xpexg 6960 . . . . . . . . 9 |- ( ( { j } e. _V /\ B e. W ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
9088, 2, 89syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( { j } X. B ) e. _V )
9190ralrimiva 2966 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
92 iunexg 7143 . . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A ( { j } X. B ) e. _V ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
931, 91, 92syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
9493adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) e. _V )
95 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ j z
9695, 37nfel 2777 . . . . . . . 8 |- F/ j z e. U_ j e. A ( { j } X. B )
9728, 96nfan 1828 . . . . . . 7 |- F/ j ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
98 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ j ( 2nd ` z )
99 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ j C
10098, 99nfcsb 3551 . . . . . . . 8 |- F/_ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C
101 nfcv 2764 . . . . . . . 8 |- F/_ j ( 0 [,] +oo )
102100, 101nfel 2777 . . . . . . 7 |- F/ j [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo )
103 simprr 796 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> ( 2nd ` z ) e. B )
104 simplll 798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> ph )
105 simplr 792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> j e. A )
10678ralrimiva 2966 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
107104, 105, 106syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) )
108 rspcsbela 4006 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd ` z ) e. B /\ A. k e. B C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
109103, 107, 108syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) /\ j e. A ) /\ ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
110 xp1st 7198 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) e. { j } )
111 elsni 4194 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` z ) e. { j } -> ( 1st ` z ) = j )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 1st ` z ) = j )
113 xp2nd 7199 . . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( 2nd ` z ) e. B )
114112, 113jca 554 . . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( { j } X. B ) -> ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) )
115114reximi 3011 . . . . . . . . 9 |- ( E. j e. A z e. ( { j } X. B ) -> E. j e. A ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) )
11672, 115sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) -> E. j e. A ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) )
117116adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> E. j e. A ( ( 1st ` z ) = j /\ ( 2nd ` z ) e. B ) )
11897, 102, 109, 117r19.29af2 3075 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
119118adantlr 751 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) ) -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C e. ( 0 [,] +oo ) )
120 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
121120adantrlr 759 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) )
12213, 94, 119, 121esummono 30116 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* z e. ran f [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
12386, 122eqbrtrrd 4677 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* k e. U_ j e. A B C <_ Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
124 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- j e. _V
125 vex 3203 . . . . . . . . 9 |- k e. _V
126124, 125op2ndd 7179 . . . . . . . 8 |- ( z = <. j , k >. -> ( 2nd ` z ) = k )
127126eqcomd 2628 . . . . . . 7 |- ( z = <. j , k >. -> k = ( 2nd ` z ) )
128127, 19syl 17 . . . . . 6 |- ( z = <. j , k >. -> C = [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
129128eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( z = <. j , k >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C = C )
13078anasss 679 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
13115, 129, 1, 2, 130esum2d 30155 . . . 4 |- ( ph -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
132131adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* j e. AΣ* k e. B C = Σ* z e. U_ j e. A ( { j } X. B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ C )
133123, 132breqtrrd 4681 . 2 |- ( ( ph /\ ( ( f : U_ j e. A B -1-1-onto-> ran f /\ A. l e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` l ) ) = l ) /\ ran f C_ U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) -> Σ* k e. U_ j e. A B C <_ Σ* j e. AΣ* k e. B C )
13412, 133exlimddv 1863 1 |- ( ph -> Σ* k e. U_ j e. A B C <_ Σ* j e. AΣ* k e. B C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ*cesum 30089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090
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