Theorem facth1 23924

Description: The factor theorem and its converse. A polynomial F has a root at A iff G = x - A is a factor of F. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1rem.p	|- P = (Poly1 ` R )
ply1rem.b	|- B = ( Base ` P )
ply1rem.k	|- K = ( Base ` R )
ply1rem.x	|- X = (var1 ` R )
ply1rem.m	|- .- = ( -g ` P )
ply1rem.a	|- A = (algSc ` P )
ply1rem.g	|- G = ( X .- ( A ` N ) )
ply1rem.o	|- O = (eval1 ` R )
ply1rem.1	|- ( ph -> R e. NzRing )
ply1rem.2	|- ( ph -> R e. CRing )
ply1rem.3	|- ( ph -> N e. K )
ply1rem.4	|- ( ph -> F e. B )
facth1.z	|- .0. = ( 0g ` R )
facth1.d	|- .|| = ( ||r ` P )

Assertion

Ref	Expression
facth1	|- ( ph -> ( G .|| F <-> ( ( O ` F ) ` N ) = .0. ) )

Proof of Theorem facth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1rem.1	. . . 4 |- ( ph -> R e. NzRing )
2		nzrring 19261	. . . 4 |- ( R e. NzRing -> R e. Ring )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
4		ply1rem.4	. . 3 |- ( ph -> F e. B )
5		ply1rem.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
6		ply1rem.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` P )
7		ply1rem.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` R )
8		ply1rem.x	. . . . . 6 |- X = (var1 ` R )
9		ply1rem.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` P )
10		ply1rem.a	. . . . . 6 |- A = (algSc ` P )
11		ply1rem.g	. . . . . 6 |- G = ( X .- ( A ` N ) )
12		ply1rem.o	. . . . . 6 |- O = (eval1 ` R )
13		ply1rem.2	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
14		ply1rem.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. K )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Monic1p ` R ) = (Monic1p ` R )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( deg1 ` R ) = ( deg1 ` R )
17		facth1.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
18	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 16, 17	ply1remlem 23922	. . . . 5 |- ( ph -> ( G e. (Monic1p ` R ) /\ ( ( deg1 ` R ) ` G ) = 1 /\ ( `' ( O ` G ) " { .0. } ) = { N } ) )
19	18	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ph -> G e. (Monic1p ` R ) )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- (Unic1p ` R ) = (Unic1p ` R )
21	20, 15	mon1puc1p 23910	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ G e. (Monic1p ` R ) ) -> G e. (Unic1p ` R ) )
22	3, 19, 21	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> G e. (Unic1p ` R ) )
23		facth1.d	. . . 4 |- .|| = ( ||r ` P )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
25		eqid 2622	. . . 4 |- (rem1p ` R ) = (rem1p ` R )
26	5, 23, 6, 20, 24, 25	dvdsr1p 23921	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. (Unic1p ` R ) ) -> ( G .|| F <-> ( F (rem1p ` R ) G ) = ( 0g ` P ) ) )
27	3, 4, 22, 26	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( G .|| F <-> ( F (rem1p ` R ) G ) = ( 0g ` P ) ) )
28	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 4, 25	ply1rem 23923	. . 3 |- ( ph -> ( F (rem1p ` R ) G ) = ( A ` ( ( O ` F ) ` N ) ) )
29	5, 10, 17, 24	ply1scl0 19660	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( A ` .0. ) = ( 0g ` P ) )
30	3, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A ` .0. ) = ( 0g ` P ) )
31	30	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( 0g ` P ) = ( A ` .0. ) )
32	28, 31	eqeq12d 2637	. 2 |- ( ph -> ( ( F (rem1p ` R ) G ) = ( 0g ` P ) <-> ( A ` ( ( O ` F ) ` N ) ) = ( A ` .0. ) ) )
33	5, 10, 7, 6	ply1sclf1 19659	. . . 4 |- ( R e. Ring -> A : K -1-1-> B )
34	3, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A : K -1-1-> B )
35	12, 5, 7, 6, 13, 14, 4	fveval1fvcl 19697	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` F ) ` N ) e. K )
36	7, 17	ring0cl 18569	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. K )
37	3, 36	syl 17	. . 3 |- ( ph -> .0. e. K )
38		f1fveq 6519	. . 3 |- ( ( A : K -1-1-> B /\ ( ( ( O ` F ) ` N ) e. K /\ .0. e. K ) ) -> ( ( A ` ( ( O ` F ) ` N ) ) = ( A ` .0. ) <-> ( ( O ` F ) ` N ) = .0. ) )
39	34, 35, 37, 38	syl12anc 1324	. 2 |- ( ph -> ( ( A ` ( ( O ` F ) ` N ) ) = ( A ` .0. ) <-> ( ( O ` F ) ` N ) = .0. ) )
40	27, 32, 39	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( G .|| F <-> ( ( O ` F ) ` N ) = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   Basecbs 15857   0gc0g 16100   -gcsg 17424   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ||_rcdsr 18638  NzRingcnzr 19257  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679   deg₁ cdg1 23814  Monic_1pcmn1 23885  Unic_1pcuc1p 23886  rem_1pcr1p 23888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-nzr 19258  df-rlreg 19283  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-evl1 19681  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-q1p 23892  df-r1p 23893

This theorem is referenced by:  fta1glem1  23925  fta1glem2  23926