Theorem ovoliunlem2 23271

Description: Lemma for ovoliun 23273. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovoliun.t	|- T = seq 1 ( + , G )
ovoliun.g	|- G = ( n e. NN |-> ( vol* ` A ) )
ovoliun.a	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ RR )
ovoliun.v	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
ovoliun.r	|- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
ovoliun.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
ovoliun.s	|- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( F ` n ) ) )
ovoliun.u	|- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
ovoliun.h	|- H = ( k e. NN |-> ( ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` k ) ) ) )
ovoliun.j	|- ( ph -> J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
ovoliun.f	|- ( ph -> F : NN --> ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
ovoliun.x1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) )
ovoliun.x2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( B / ( 2 ^ n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovoliunlem2	|- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, n, B   k, F, n   k, J, n   n, H   ph, k, n   S, k   k, G   T, k   n, G   T, n

Allowed substitution hints:   A( n)   S( n)   U( k, n)   H( k)

Proof of Theorem ovoliunlem2

Dummy variables j m x z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovoliun.a	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ RR )
2	1	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN A C_ RR )
3		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ n e. NN A C_ RR <-> A. n e. NN A C_ RR )
4	2, 3	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN A C_ RR )
5		ovolcl 23246	. . 3 |- ( U_ n e. NN A C_ RR -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) e. RR* )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) e. RR* )
7		ovoliun.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : NN --> ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
9		ovoliun.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
10		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> J : NN --> ( NN X. NN ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J : NN --> ( NN X. NN ) )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( J ` k ) e. ( NN X. NN ) )
13		xp1st 7198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J ` k ) e. ( NN X. NN ) -> ( 1st ` ( J ` k ) ) e. NN )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1st ` ( J ` k ) ) e. NN )
15	8, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
16		reex 10027	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
17	16, 16	xpex 6962	. . . . . . . . . 10 |- ( RR X. RR ) e. _V
18	17	inex2 4800	. . . . . . . . 9 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) e. _V
19		nnex 11026	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
20	18, 19	elmap 7886	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21	15, 20	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
22		xp2nd 7199	. . . . . . . 8 |- ( ( J ` k ) e. ( NN X. NN ) -> ( 2nd ` ( J ` k ) ) e. NN )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2nd ` ( J ` k ) ) e. NN )
24	21, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` k ) ) ) e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
25		ovoliun.h	. . . . . 6 |- H = ( k e. NN |-> ( ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` k ) ) ) )
26	24, 25	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
27		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( abs o. - ) o. H ) = ( ( abs o. - ) o. H )
28		ovoliun.u	. . . . . 6 |- U = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. H ) )
29	27, 28	ovolsf 23241	. . . . 5 |- ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) -> U : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
30		frn 6053	. . . . 5 |- ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> ran U C_ ( 0 [,) +oo ) )
31	26, 29, 30	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ran U C_ ( 0 [,) +oo ) )
32		icossxr 12258	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR*
33	31, 32	syl6ss 3615	. . 3 |- ( ph -> ran U C_ RR* )
34		supxrcl 12145	. . 3 |- ( ran U C_ RR* -> sup ( ran U , RR* , < ) e. RR* )
35	33, 34	syl 17	. 2 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) e. RR* )
36		ovoliun.r	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
37		ovoliun.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR+ )
38	37	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
39	36, 38	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) e. RR )
40	39	rexrd 10089	. 2 |- ( ph -> ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) e. RR* )
41		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( z e. U_ n e. NN A <-> E. n e. NN z e. A )
42		ovoliun.x1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) )
43	42	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) )
44	1	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> A C_ RR )
45	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
46	18, 19	elmap 7886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> ( F ` n ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
47	45, 46	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
48	47	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> ( F ` n ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
49		ovolfioo 23236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( F ` n ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) <-> A. z e. A E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) ) )
50	44, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) <-> A. z e. A E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) ) )
51	43, 50	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> A. z e. A E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) )
52		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> z e. A )
53		rsp 2929	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. A E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) -> ( z e. A -> E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) ) )
54	51, 52, 53	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) )
55		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ph )
56		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) -> `' J : ( NN X. NN ) -1-1-onto-> NN )
57		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' J : ( NN X. NN ) -1-1-onto-> NN -> `' J : ( NN X. NN ) --> NN )
58	55, 9, 56, 57	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> `' J : ( NN X. NN ) --> NN )
59		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> n e. NN )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> j e. NN )
61	58, 59, 60	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( n `' J j ) e. NN )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = ( n `' J j ) -> ( J ` k ) = ( J ` ( n `' J j ) ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( n `' J j ) -> ( 1st ` ( J ` k ) ) = ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n `' J j ) -> ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) = ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) )
65	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n `' J j ) -> ( 2nd ` ( J ` k ) ) = ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) )
66	64, 65	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n `' J j ) -> ( ( F ` ( 1st ` ( J ` k ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` k ) ) ) = ( ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) )
67		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) e. _V
68	66, 25, 67	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n `' J j ) e. NN -> ( H ` ( n `' J j ) ) = ( ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) )
69	61, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( H ` ( n `' J j ) ) = ( ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) )
70		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n `' J j ) = ( `' J ` <. n , j >. )
71	70	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( J ` ( n `' J j ) ) = ( J ` ( `' J ` <. n , j >. ) )
72	55, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
73		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. NN /\ j e. NN ) -> <. n , j >. e. ( NN X. NN ) )
74	59, 60, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> <. n , j >. e. ( NN X. NN ) )
75		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) /\ <. n , j >. e. ( NN X. NN ) ) -> ( J ` ( `' J ` <. n , j >. ) ) = <. n , j >. )
76	72, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( J ` ( `' J ` <. n , j >. ) ) = <. n , j >. )
77	71, 76	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( J ` ( n `' J j ) ) = <. n , j >. )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) = ( 1st ` <. n , j >. ) )
79		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- n e. _V
80		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- j e. _V
81	79, 80	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. n , j >. ) = n
82	78, 81	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) = n )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) = ( F ` n ) )
84	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) = ( 2nd ` <. n , j >. ) )
85	79, 80	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. n , j >. ) = j
86	84, 85	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) = j )
87	83, 86	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( ( F ` ( 1st ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) ` ( 2nd ` ( J ` ( n `' J j ) ) ) ) = ( ( F ` n ) ` j ) )
88	69, 87	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( H ` ( n `' J j ) ) = ( ( F ` n ) ` j ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) = ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) )
90	89	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z <-> ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z ) )
91	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) = ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) )
92	91	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) <-> z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) )
93	90, 92	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) ) )
94	93	biimprd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) -> ( ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) ) ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( H ` m ) = ( H ` ( n `' J j ) ) )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( 1st ` ( H ` m ) ) = ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) )
97	96	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z <-> ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z ) )
98	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( 2nd ` ( H ` m ) ) = ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) )
99	98	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) <-> z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) ) )
100	97, 99	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n `' J j ) -> ( ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) ) ) )
101	100	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n `' J j ) e. NN /\ ( ( 1st ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` ( n `' J j ) ) ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) )
102	61, 94, 101	syl6an 568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) /\ j e. NN ) -> ( ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
103	102	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> ( E. j e. NN ( ( 1st ` ( ( F ` n ) ` j ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( ( F ` n ) ` j ) ) ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
104	54, 103	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ z e. A ) -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) )
105	104	rexlimdv3a 3033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. NN z e. A -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
106	41, 105	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. U_ n e. NN A -> E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
107	106	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. U_ n e. NN A E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) )
108		ovolfioo 23236	. . . . 5 |- ( ( U_ n e. NN A C_ RR /\ H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( U_ n e. NN A C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. U_ n e. NN A E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
109	4, 26, 108	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( U_ n e. NN A C_ U. ran ( (,) o. H ) <-> A. z e. U_ n e. NN A E. m e. NN ( ( 1st ` ( H ` m ) ) < z /\ z < ( 2nd ` ( H ` m ) ) ) ) )
110	107, 109	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> U_ n e. NN A C_ U. ran ( (,) o. H ) )
111	28	ovollb 23247	. . 3 |- ( ( H : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ U_ n e. NN A C_ U. ran ( (,) o. H ) ) -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
112	26, 110, 111	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) <_ sup ( ran U , RR* , < ) )
113		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... j ) e. Fin
114		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( 1 ... j ) -> w e. NN )
115		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J : NN --> ( NN X. NN ) /\ w e. NN ) -> ( J ` w ) e. ( NN X. NN ) )
116		xp1st 7198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` w ) e. ( NN X. NN ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) e. NN )
117		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( J ` w ) ) e. NN -> ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
118	115, 116, 117	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J : NN --> ( NN X. NN ) /\ w e. NN ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
119	11, 114, 118	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
121	120	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
122		fimaxre3 10970	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... j ) e. Fin /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR ) -> E. x e. RR A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x )
123	113, 121, 122	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> E. x e. RR A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x )
124		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
125	124	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
126	119	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR )
127		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> x e. RR )
128		flcl 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
129	128	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
130	129	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
131	130	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
132		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( J ` w ) ) e. RR /\ x e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x /\ x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
133	126, 127, 131, 132	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x /\ x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) -> ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
134	125, 133	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ w e. ( 1 ... j ) ) -> ( ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x -> ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
135	134	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x -> A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
136	135	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x -> A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) )
137		ovoliun.t	. . . . . . . . . 10 |- T = seq 1 ( + , G )
138		ovoliun.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( n e. NN |-> ( vol* ` A ) )
139		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ph )
140	139, 1	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> A C_ RR )
141		ovoliun.v	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
142	139, 141	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
143	139, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> sup ( ran T , RR* , < ) e. RR )
144	139, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> B e. RR+ )
145		ovoliun.s	. . . . . . . . . 10 |- S = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( F ` n ) ) )
146	139, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> J : NN -1-1-onto-> ( NN X. NN ) )
147	139, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> F : NN --> ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
148	139, 42	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> A C_ U. ran ( (,) o. ( F ` n ) ) )
149		ovoliun.x2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( B / ( 2 ^ n ) ) ) )
150	139, 149	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( B / ( 2 ^ n ) ) ) )
151		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> j e. NN )
152	129	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
153		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
154	137, 138, 140, 142, 143, 144, 145, 28, 25, 146, 147, 148, 150, 151, 152, 153	ovoliunlem1 23270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ ( x e. RR /\ A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) ) ) -> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )
155	154	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) -> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
156	136, 155	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x -> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
157	156	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( E. x e. RR A. w e. ( 1 ... j ) ( 1st ` ( J ` w ) ) <_ x -> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
158	123, 157	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )
159	158	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. NN ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )
160		ffn 6045	. . . . 5 |- ( U : NN --> ( 0 [,) +oo ) -> U Fn NN )
161		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( z = ( U ` j ) -> ( z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) <-> ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
162	161	ralrn 6362	. . . . 5 |- ( U Fn NN -> ( A. z e. ran U z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) <-> A. j e. NN ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
163	26, 29, 160, 162	4syl 19	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. ran U z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) <-> A. j e. NN ( U ` j ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
164	159, 163	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. z e. ran U z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )
165		supxrleub 12156	. . . 4 |- ( ( ran U C_ RR* /\ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) e. RR* ) -> ( sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) <-> A. z e. ran U z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
166	33, 40, 165	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) <-> A. z e. ran U z <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) ) )
167	164, 166	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> sup ( ran U , RR* , < ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )
168	6, 35, 40, 112, 167	xrletrd 11993	1 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN A ) <_ ( sup ( ran T , RR* , < ) + B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ovoliunlem3  23272