Theorem dchrisum 25181

Description: If n e. [ M , +oo ) |-> A ( n ) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum sum_ n , X ( n ) A ( n ) is convergent, with the partial sum sum_ n <_ x , X ( n ) A ( n ) within O ( A ( M ) ) of the limit T. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrisum.2	|- ( n = x -> A = B )
dchrisum.3	|- ( ph -> M e. NN )
dchrisum.4	|- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
dchrisum.5	|- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
dchrisum.6	|- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
dchrisum.7	|- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum	|- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. x e. ( M [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, n, c, t, .1.   F, c, n, t, x   A, c, t, x   N, c, n, t, x   ph, c, n, t, x   B, c, n   n, Z, x   D, c, n, t, x   L, c, n, t, x   M, c, n, x   X, c, n, t, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( x, t)   G( x, t, n, c)   M( t)   Z( t, c)

Proof of Theorem dchrisum

Dummy variables m u i r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofi 12773	. . 3 |- ( 0..^ N ) e. Fin
2		fzofi 12773	. . . . . . 7 |- ( 0..^ u ) e. Fin
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0..^ u ) e. Fin )
4		rpvmasum.g	. . . . . . 7 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
6		rpvmasum.d	. . . . . . 7 |- D = ( Base ` G )
7		rpvmasum.l	. . . . . . 7 |- L = ( ZRHom ` Z )
8		dchrisum.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0..^ u ) ) -> X e. D )
10		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 0..^ u ) -> m e. ZZ )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 0..^ u ) ) -> m e. ZZ )
12	4, 5, 6, 7, 9, 11	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 0..^ u ) ) -> ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
13	3, 12	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) e. CC )
14	13	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
15	14	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR )
16		fimaxre3 10970	. . 3 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) e. RR ) -> E. r e. RR A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r )
17	1, 15, 16	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r )
18		rpvmasum.a	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
19	18	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> N e. NN )
20		rpvmasum.1	. . 3 |- .1. = ( 0g ` G )
21	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> X e. D )
22		dchrisum.n1	. . . 4 |- ( ph -> X =/= .1. )
23	22	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> X =/= .1. )
24		dchrisum.2	. . 3 |- ( n = x -> A = B )
25		dchrisum.3	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
26	25	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> M e. NN )
27		dchrisum.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
28	27	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) /\ n e. RR+ ) -> A e. RR )
29		dchrisum.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
30	29	3adant1r 1319	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) /\ ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) /\ ( M <_ n /\ n <_ x ) ) -> B <_ A )
31		dchrisum.6	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
32	31	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> ( n e. RR+ |-> A ) ~~> r 0 )
33		dchrisum.7	. . 3 |- F = ( n e. NN |-> ( ( X ` ( L ` n ) ) x. A ) )
34		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> r e. RR )
35		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( L ` m ) = ( L ` n ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( X ` ( L ` m ) ) = ( X ` ( L ` n ) ) )
38	37	cbvsumv 14426	. . . . . . . 8 |- sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) = sum_ n e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` n ) )
39		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( u = i -> ( 0..^ u ) = ( 0..^ i ) )
40	39	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( u = i -> sum_ n e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` n ) ) = sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) )
41	38, 40	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( u = i -> sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) = sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) )
42	41	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( u = i -> ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) )
43	42	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( u = i -> ( ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r <-> ( abs ` sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ r ) )
44	43	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ r )
45	35, 44	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> A. i e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ n e. ( 0..^ i ) ( X ` ( L ` n ) ) ) <_ r )
46	5, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45	dchrisumlem3 25180	. 2 |- ( ( ph /\ ( r e. RR /\ A. u e. ( 0..^ N ) ( abs ` sum_ m e. ( 0..^ u ) ( X ` ( L ` m ) ) ) <_ r ) ) -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. x e. ( M [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. B ) ) )
47	17, 46	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , F ) ~~> t /\ A. x e. ( M [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` x ) ) - t ) ) <_ ( c x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   RR+crp 11832   [,)cico 12177  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  25182  dchrvmasumlema  25189  dchrisum0lema  25203